Giá trị ngoại lệ là gì? Công thức và cách tìm trong Toán 10

Trả lời nhanh

Giá trị ngoại lệ là giá trị của mẫu số liệu quá nhỏ hoặc quá lớn so với phần còn lại. Về công thức, đó là giá trị x thoả mãn x < Q₁ − 1,5ΔQ hoặc x > Q₃ + 1,5ΔQ, trong đó ΔQ = Q₃ − Q₁ là khoảng tứ phân vị. Giá trị này thường làm sai lệch số trung bình và độ lệch chuẩn nên cần phát hiện trước khi nhận xét số liệu.

1. Giá trị ngoại lệ là gì và vì sao cần quan tâm?

Khi thu thập số liệu, đôi khi có một vài giá trị lệch hẳn khỏi nhóm còn lại. Ví dụ điểm kiểm tra của một tổ đều từ 6 đến 9 nhưng có một bạn được 1 điểm. Đó có thể là bạn vắng mặt, ghi nhầm hoặc thật sự làm bài rất kém.

Em cần biết giá trị ngoại lệ vì hai lý do:

Số trung bình bị kéo lệch rất mạnh bởi giá trị ngoại lệ, còn trung vị và tứ phân vị thì ít bị ảnh hưởng.
Phát hiện ngoại lệ giúp ta kiểm tra lại số liệu: sai sót khi nhập hay hiện tượng đặc biệt thật sự.

2. Công thức nhận biết giá trị ngoại lệ

Em tính ba số: Q₁ (tứ phân vị thứ nhất), Q₃ (tứ phân vị thứ ba) và khoảng tứ phân vị ΔQ = Q₃ − Q₁. Sau đó lập hai "hàng rào":

Hàng rào dưới: Q₁ − 1,5ΔQ
Hàng rào trên: Q₃ + 1,5ΔQ

Giá trị nằm ngoài khoảng giữa hai hàng rào là giá trị ngoại lệ. Giá trị nằm đúng trên hàng rào vẫn không bị coi là ngoại lệ.

3. Các bước tìm giá trị ngoại lệ

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
Tìm trung vị Q₂, rồi tìm Q₁ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, Q₃ là trung vị của nửa bên phải (khi n lẻ, không tính chính Q₂ vào hai nửa).
Tính ΔQ = Q₃ − Q₁.
Tính hai hàng rào rồi so sánh từng giá trị với chúng.

4. Ví dụ 1: mẫu có 10 số liệu

Cho mẫu số liệu về số phút đọc sách mỗi ngày của 10 bạn: 4; 5; 6; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 30. Hãy tìm giá trị ngoại lệ.

Mẫu đã sắp xếp. Có 10 số nên Q₂ = (7 + 8) : 2 = 7,5.
Nửa trái: 4; 5; 6; 6; 7 nên Q₁ = 6. Nửa phải: 8; 9; 10; 11; 30 nên Q₃ = 10.
ΔQ = 10 − 6 = 4, nên 1,5ΔQ = 6.
Hàng rào dưới: 6 − 6 = 0. Hàng rào trên: 10 + 6 = 16.

Chỉ có số 30 lớn hơn 16, nên 30 là giá trị ngoại lệ. Các số còn lại đều nằm trong khoảng từ 0 đến 16.

Biểu đồ hộp minh hoạ giá trị ngoại lệ là gì: số 30 vượt hàng rào trên Q3 + 1,5ΔQ = 16 — Hình 1. Số 30 nằm ngoài hàng rào trên (16) nên là giá trị ngoại lệ.

5. Ví dụ 2: mẫu có 9 số liệu, ngoại lệ ở phía nhỏ

Cho mẫu: 1; 20; 22; 23; 24; 25; 26; 28; 29 (có 9 số).

Trung vị Q₂ = 24 (số thứ 5).
Nửa trái (không kể 24): 1; 20; 22; 23 nên Q₁ = (20 + 22) : 2 = 21.
Nửa phải: 25; 26; 28; 29 nên Q₃ = (26 + 28) : 2 = 27.
ΔQ = 6, 1,5ΔQ = 9. Hàng rào dưới: 21 − 9 = 12. Hàng rào trên: 27 + 9 = 36.

Số 1 nhỏ hơn 12 nên 1 là giá trị ngoại lệ. Không có số nào lớn hơn 36.

6. Lỗi sai thường gặp

Quên sắp xếp lại số liệu trước khi tìm tứ phân vị.
Khi n lẻ vẫn đưa trung vị vào hai nửa, làm sai Q₁ và Q₃.
Nhầm "lớn hơn Q₃" với "lớn hơn hàng rào trên". Một số lớn hơn Q₃ chưa chắc là ngoại lệ.
Quên nhân 1,5 với ΔQ.

7. Bài tập tự luyện

Bài 1. Mẫu: 2; 3; 3; 4; 5; 5; 6; 7; 8; 25. Tìm giá trị ngoại lệ.

Lời giải: Q₂ = (5 + 5) : 2 = 5. Nửa trái: 2; 3; 3; 4; 5 nên Q₁ = 3. Nửa phải: 5; 6; 7; 8; 25 nên Q₃ = 7. ΔQ = 4, 1,5ΔQ = 6. Hàng rào: −3 và 13. Vậy 25 là giá trị ngoại lệ.

Bài 2. Vì sao khi có giá trị ngoại lệ ta thường dùng trung vị để đại diện thay cho số trung bình?

Lời giải: Số trung bình tính theo mọi giá trị nên bị kéo mạnh về phía giá trị ngoại lệ. Trung vị chỉ phụ thuộc vị trí ở giữa dãy nên gần như không đổi.

Câu hỏi thường gặp

Giá trị ngoại lệ là gì?

Là giá trị của mẫu số liệu quá nhỏ hoặc quá lớn so với các giá trị còn lại, cụ thể là giá trị nhỏ hơn Q1 − 1,5ΔQ hoặc lớn hơn Q3 + 1,5ΔQ.

Khoảng tứ phân vị ΔQ tính thế nào?

ΔQ bằng hiệu của tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ΔQ = Q3 − Q1.

Giá trị nằm đúng trên hàng rào có phải ngoại lệ không?

Không. Chỉ giá trị nhỏ hơn hàng rào dưới hoặc lớn hơn hàng rào trên mới là giá trị ngoại lệ.

Giá trị ngoại lệ ảnh hưởng đến số đặc trưng nào nhiều nhất?

Số trung bình và độ lệch chuẩn bị ảnh hưởng mạnh nhất, còn trung vị và khoảng tứ phân vị ít thay đổi.