Trả lời nhanh
Với đề thường gặp: a, b không cùng phương nhưng 2a − 3b và a + (x − 1)b cùng phương, ta có x = −1/2. Vì hai vectơ cùng phương nên a + (x − 1)b = t(2a − 3b). Do a, b không cùng phương, hệ số của a và b hai vế phải bằng nhau: 1 = 2t và x − 1 = −3t, suy ra t = 1/2 và x = −1/2.
Đề bài thường gặp
Dạng này thường được phát biểu như sau: “Biết rằng hai vectơ a và b không cùng phương nhưng hai vectơ 2a − 3b và a + (x − 1)b cùng phương. Khi đó giá trị của x là bao nhiêu?” Nếu đề của em có các phương án A, B, C, D thì chọn phương án có giá trị −1/2. Nếu số liệu trong đề của em khác, hãy làm theo đúng các bước ở dưới, chỉ thay hệ số.
Kiến thức cần nhớ
- Hai vectơ u, v (v ≠ 0) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho u = t·v.
- Hai vectơ a, b không cùng phương (và khác 0) thì nếu m·a + n·b = p·a + q·b ta suy ra m = p và n = q. Đây là “chìa khoá” của cả bài: có thể so sánh hệ số của a và của b.
Lời giải chi tiết
- Vì a, b không cùng phương nên 2a − 3b ≠ 0. Hai vectơ 2a − 3b và a + (x − 1)b cùng phương nên tồn tại số t sao cho
a + (x − 1)b = t(2a − 3b). - Khai triển vế phải: a + (x − 1)b = 2t·a − 3t·b.
- Do a, b không cùng phương, đồng nhất hệ số:
- Hệ số của a: 1 = 2t, suy ra t = 1/2.
- Hệ số của b: x − 1 = −3t = −3/2.
- Suy ra x = 1 − 3/2 = −1/2.
Kiểm tra: với x = −1/2 thì a + (x − 1)b = a − (3/2)b = (1/2)(2a − 3b). Hai vectơ đúng là cùng phương.
Vì sao phải có điều kiện “không cùng phương”?
Nếu a, b cùng phương thì b = k·a, khi đó mọi vectơ dạng m·a + n·b đều nằm trên một đường thẳng và có vô số cách viết khác nhau, nên ta không thể “so sánh hệ số” được. Chính vì a, b không cùng phương nên cách viết một vectơ qua a và b là duy nhất.
Cách làm nhanh: tỉ lệ hệ số
Với u = m·a + n·b và v = p·a + q·b (a, b không cùng phương), u và v cùng phương khi và chỉ khi m·q = n·p (tương đương m/p = n/q khi mẫu khác 0). Áp dụng: m = 2, n = −3, p = 1, q = x − 1 nên 2(x − 1) = −3·1, tức x − 1 = −3/2, x = −1/2. Kết quả trùng với cách trên.
Ví dụ tương tự (tự đặt)
Ví dụ: a, b không cùng phương. Tìm x để u = 3a + 2b và v = x·a − 4b cùng phương.
Áp dụng 3·(−4) = 2·x, suy ra x = −6. Kiểm tra: v = −6a − 4b = −2(3a + 2b) = −2u ✓.
Lỗi sai thường gặp
- Đặt u = t·v nhưng quên rằng hệ số của a và của b đều phải khớp, chỉ giải một phương trình.
- Sai dấu khi khai triển, ví dụ −3t viết thành 3t.
- Viết x − 1 = −3/2 rồi trả lời x = −3/2 (quên chuyển vế −1).
- Nhầm “cùng phương” với “bằng nhau”: hai vectơ cùng phương chỉ cần u = t·v với t bất kì, không cần t = 1.
Bài luyện tập
Trong các bài sau, a và b là hai vectơ không cùng phương.
- Tìm m để a − 2b và (m + 1)a + 4b cùng phương.
- Tìm m để 4a + (m − 2)b và 2a − 3b cùng phương.
- Tìm x để 5a + b và 2a + (x + 1)b cùng phương.
Đáp án:
- Đặt (m + 1)a + 4b = t(a − 2b): m + 1 = t, 4 = −2t nên t = −2, m = −3.
- 4a + (m − 2)b = 2(2a − 3b) nên m − 2 = −6, m = −4.
- 5(x + 1) = 1·2 nên x + 1 = 2/5, x = −3/5.
Mẹo nhớ: “Không cùng phương thì so hệ số; cùng phương thì tỉ lệ hệ số bằng nhau.”
Câu hỏi thường gặp
Hai vectơ a và b không cùng phương có nghĩa là gì?
Nghĩa là giá của hai vectơ không song song hoặc trùng nhau, cũng không có số k nào để a = k·b hay b = k·a. Khi đó mọi vectơ trong mặt phẳng đều biểu diễn duy nhất qua a và b.
Khi nào hai vectơ m·a + n·b và p·a + q·b cùng phương?
Khi a, b không cùng phương thì hai vectơ đó cùng phương khi và chỉ khi m·q = n·p.
Đáp số của bài 2a − 3b và a + (x − 1)b cùng phương là gì?
x = −1/2. Vì a + (x − 1)b = t(2a − 3b) cho t = 1/2 và x − 1 = −3/2.
Tại sao phải đồng nhất hệ số của a và b?
Vì a, b không cùng phương nên cách biểu diễn một vectơ qua a và b là duy nhất, do đó hệ số tương ứng ở hai vế phải bằng nhau.