Trả lời nhanh
Với dạng đề thường gặp: hai vectơ a, b không cùng phương nhưng hai vectơ 2a − 3b và a + (x − 1)b cùng phương, ta có x = −1/2. Vì a, b không cùng phương nên hai vectơ cùng phương khi các hệ số tương ứng tỉ lệ: 2/1 = −3/(x − 1), suy ra x − 1 = −3/2.
Lưu ý: phần đề trên trang bị cắt ở đoạn “nhưng hai vectơ…”, nên bài dưới đây giải theo dạng phổ biến nhất của câu này trong chương Vectơ (Toán 10). Nếu đề của em có hệ số khác, hãy dùng đúng phương pháp ở mục 2 và thay số vào.
1. Đề bài (dạng thường gặp)
Biết rằng hai vectơ a và b không cùng phương, nhưng hai vectơ u = 2a − 3b và v = a + (x − 1)b cùng phương. Tìm giá trị của x.
2. Cơ sở lý thuyết cần nhớ
- Vectơ v ≠ 0. Vectơ u cùng phương với v khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho u = kv.
- Nếu a, b không cùng phương thì từ ma + nb = m’a + n’b suy ra m = m’ và n = n’. Đây là tính duy nhất của cách biểu diễn, là chìa khoá của dạng bài này.
3. Lời giải chi tiết
- Vectơ v = a + (x − 1)b khác 0 (hệ số của a bằng 1 ≠ 0 mà a, b không cùng phương).
- Vì u và v cùng phương nên tồn tại k sao cho 2a − 3b = ka + k(x − 1)b.
- Đồng nhất hệ số của a và b: 2 = k và −3 = k(x − 1).
- Thay k = 2: x − 1 = −3/2, suy ra x = −1/2.
Thử lại: với x = −1/2 thì v = a − (3/2)b. Nhân 2 được 2a − 3b = u. Vậy u = 2v, hai vectơ cùng phương. ✔
4. Vì sao được “đồng nhất hệ số”?
Nếu a, b không cùng phương thì chúng giống hai “trục” độc lập, mỗi vectơ chỉ có một cách viết dạng ma + nb. Giả sử hệ số không khớp, chẳng hạn 2 ≠ k, ta rút được (2 − k)a = (…)b, tức a cùng phương với b, mâu thuẫn giả thiết. Do đó hai hệ số phải bằng nhau từng cặp.
5. Mẹo làm nhanh
Với u = ma + nb và v = pa + qb, hai vectơ cùng phương khi m/p = n/q (hay mq = np). Áp dụng: 2·(x − 1) = (−3)·1, tức x − 1 = −3/2. Cách này giống tích chéo, cho kết quả ngay.
6. Lỗi sai thường gặp
- Quên điều kiện “a, b không cùng phương” nên không dám đồng nhất hệ số.
- Giải ra x − 1 = −3/2 rồi kết luận luôn x = −3/2 (quên cộng 1).
- Viết tỉ lệ ngược: 1/2 = (x − 1)/(−3) vẫn đúng, nhưng nhiều bạn lại viết 2/(−3) = 1/(x − 1) là sai dấu thứ tự, dẫn đến x = −1/2 hay x = … tuỳ lúc nhầm. Hãy luôn thử lại bằng cách nhân hệ số.
7. Bài luyện tập (số liệu tự đặt)
Bài 1. Cho a, b không cùng phương. Tìm m để u = 3a + 2b và v = a + (m + 1)b cùng phương.
Bài 2. Cho a, b không cùng phương. Tìm m để u = a − 2b và v = ma + 4b cùng phương.
Bài 3. Cho tam giác ABC có vectơ AB = a + 2b, AC = 3a + mb (a, b không cùng phương). Tìm m để A, B, C thẳng hàng.
Đáp án
- Bài 1: 3/1 = 2/(m + 1) nên m + 1 = 2/3, m = −1/3.
- Bài 2: m/1 = 4/(−2) nên m = −2. Kiểm tra: v = −2a + 4b = −2u.
- Bài 3: A, B, C thẳng hàng khi AB, AC cùng phương: 3/1 = m/2, suy ra m = 6.
Câu hỏi thường gặp
Hai vectơ a và b không cùng phương có nghĩa là gì?
Nghĩa là giá của hai vectơ không song song và không trùng nhau (cả hai đều khác vectơ không). Khi đó chúng không thể biểu diễn qua nhau bằng một số thực nhân.
Điều kiện để hai vectơ ma + nb và pa + qb cùng phương là gì?
Khi a, b không cùng phương và p, q khác 0, hai vectơ cùng phương khi m/p = n/q, hay mq = np.
Với 2a − 3b và a + (x − 1)b cùng phương thì x bằng bao nhiêu?
x = −1/2. Vì 2/1 = −3/(x − 1) nên x − 1 = −3/2.
Ba điểm A, B, C thẳng hàng được chuyển về vectơ như thế nào?
A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC cùng phương, tức AC = k·AB với một số thực k.