Trả lời nhanh
Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông (ΔABC vuông tại A thì BC2 = AB2 + AC2). Định lí đảo: nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác đó vuông. Bài viết gồm 20 bài tập chia 5 dạng, mỗi bài có lời giải từng bước để các em tự luyện.
Tóm tắt kiến thức cần nhớ
| Nội dung | Phát biểu | Dùng khi nào |
|---|---|---|
| Định lí Pythagore (thuận) | ΔABC vuông tại A ⇒ BC2 = AB2 + AC2 | Biết hai cạnh, tính cạnh thứ ba của tam giác vuông |
| Định lí Pythagore đảo | ΔABC có BC2 = AB2 + AC2 ⇒ ΔABC vuông tại A | Chứng minh tam giác vuông khi biết ba cạnh |
| Hệ quả | Cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất của tam giác vuông | Kiểm tra nhanh kết quả, xác định cạnh huyền |
Hai công thức suy ra hay dùng: cạnh huyền = √(tổng bình phương hai cạnh góc vuông); cạnh góc vuông = √(cạnh huyền2 − cạnh góc vuông kia2). Muốn tìm cạnh huyền thì cộng, muốn tìm cạnh góc vuông thì trừ.
Mẹo nhớ bộ ba Pythagore: các bộ số nguyên (3; 4; 5), (5; 12; 13), (8; 15; 17), (7; 24; 25), (20; 21; 29) và các bội của chúng như (6; 8; 10), (9; 12; 15) xuất hiện rất thường xuyên. Nhận ra chúng giúp em tính nhẩm và tự kiểm tra đáp số.
Xem lại phần lí thuyết đầy đủ tại Lý thuyết Định lí Pythagore.
Dạng 1. Tính độ dài một cạnh của tam giác vuông
Phương pháp: xác định góc vuông → xác định cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông) → viết hệ thức Pythagore → thay số.
Bài 1. Cho ΔABC vuông tại A có AB = 9 cm, AC = 12 cm. Tính BC.
Lời giải. BC là cạnh huyền nên BC2 = AB2 + AC2 = 81 + 144 = 225. Vậy BC = 15 cm (bộ ba 9; 12; 15 là bội 3 của bộ 3; 4; 5).
Bài 2. Cho ΔDEF vuông tại D có cạnh huyền EF = 26 cm, DE = 10 cm. Tính DF.
Lời giải. DF2 = EF2 − DE2 = 676 − 100 = 576 ⇒ DF = 24 cm.
Bài 3. Cho ΔMNP vuông tại M có MN = 4 cm, MP = 6 cm. Tính NP (làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải. NP2 = 42 + 62 = 52 ⇒ NP = √52 ≈ 7,21 cm. Không phải bài nào cũng ra số nguyên; khi đó giữ dạng căn hoặc làm tròn theo yêu cầu.
Bài 4. a) Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 5 cm. Tính cạnh huyền. b) Tam giác vuông cân có cạnh huyền 8 cm. Tính cạnh góc vuông.
Lời giải. a) Cạnh huyền2 = 52 + 52 = 50 ⇒ cạnh huyền = √50 ≈ 7,07 cm. b) Gọi cạnh góc vuông là x, ta có x2 + x2 = 64 ⇒ x2 = 32 ⇒ x = √32 ≈ 5,66 cm.
Bài 5. Tính chiều cao của tam giác đều cạnh 6 cm.
Lời giải. Đường cao AH của tam giác đều ABC đồng thời là đường trung tuyến nên BH = 3 cm. Trong ΔABH vuông tại H: AH2 = 62 − 32 = 27 ⇒ AH = √27 ≈ 5,20 cm.
Bài 6. Một hình chữ nhật có chiều dài 15 cm, chiều rộng 8 cm. Tính độ dài đường chéo.
Lời giải. Đường chéo chia hình chữ nhật thành hai tam giác vuông, nên đường chéo2 = 152 + 82 = 289 ⇒ đường chéo = 17 cm.
Dạng 2. Chứng minh tam giác vuông bằng định lí đảo
Phương pháp: tìm cạnh lớn nhất, bình phương nó rồi so sánh với tổng bình phương hai cạnh còn lại. Bằng nhau thì tam giác vuông tại đỉnh đối diện cạnh lớn nhất; khác nhau thì không vuông.
Bài 7. Bộ ba độ dài nào sau đây là ba cạnh của một tam giác vuông? a) 7; 24; 25. b) 6; 9; 11. c) 1,5; 2; 2,5. d) 5; 6; 8.
Lời giải.
- a) 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252 → vuông.
- b) 62 + 92 = 117 ≠ 121 = 112 → không vuông.
- c) 1,52 + 22 = 2,25 + 4 = 6,25 = 2,52 → vuông (đây là bộ 3; 4; 5 chia đôi).
- d) 52 + 62 = 61 ≠ 64 = 82 → không vuông.
Bài 8. Cho ΔABC có AB = 20 cm, AC = 21 cm, BC = 29 cm. Tam giác ABC có vuông không? Nếu có, vuông tại đỉnh nào?
Lời giải. Cạnh lớn nhất là BC. Ta có AB2 + AC2 = 400 + 441 = 841 = 292 = BC2. Theo định lí đảo, ΔABC vuông tại A (đỉnh đối diện cạnh BC).
Bài 9. Ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 3; 4; 5 và chu vi bằng 36 cm. Tính ba cạnh, chứng tỏ tam giác vuông và tính diện tích.
Lời giải. Gọi ba cạnh là 3k, 4k, 5k (k > 0). Ta có 12k = 36 ⇒ k = 3, các cạnh là 9 cm, 12 cm, 15 cm. Vì 92 + 122 = 225 = 152 nên tam giác vuông, diện tích = 9 · 12 : 2 = 54 cm2.
Bài 10. Một bác thợ mộc muốn kiểm tra góc của khung cửa có vuông không. Bác đo từ góc theo một cạnh 60 cm, theo cạnh kia 80 cm rồi đo khoảng cách giữa hai điểm vừa đánh dấu được đúng 1 m. Góc khung cửa có vuông không?
Lời giải. Đổi 1 m = 100 cm. Vì 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10 000 = 1002 nên theo định lí đảo, góc đó vuông. Đây chính là cách thợ xây, thợ mộc dùng bộ ba 3 – 4 – 5 để lấy góc vuông ngoài thực tế.
Dạng 3. Bài toán tỉ số, tổng – hiệu các cạnh
Phương pháp: đặt ẩn theo điều kiện đề bài, thay vào hệ thức Pythagore để được một phương trình; với dạng tổng – hiệu nên dùng hằng đẳng thức.
Bài 11. Cho ΔABC vuông tại A có AB : AC = 5 : 12 và BC = 39 cm. Tính AB, AC.
Lời giải. Đặt AB = 5k, AC = 12k (k > 0). Khi đó 25k2 + 144k2 = 169k2 = 392 = 1521 ⇒ k2 = 9 ⇒ k = 3. Vậy AB = 15 cm, AC = 36 cm.
Bài 12. Một tam giác vuông có cạnh huyền 17 cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 23 cm. Tính hai cạnh góc vuông.
Lời giải. Gọi hai cạnh góc vuông là x, y (x ≥ y). Ta có x + y = 23 và x2 + y2 = 289. Từ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 suy ra 2xy = 529 − 289 = 240. Khi đó (x − y)2 = x2 + y2 − 2xy = 49 ⇒ x − y = 7. Giải được x = 15 cm, y = 8 cm.
Bài 13. Một tam giác vuông có một cạnh góc vuông 9 cm, cạnh huyền dài hơn cạnh góc vuông còn lại 1 cm. Tính cạnh huyền.
Lời giải. Gọi cạnh góc vuông còn lại là x thì cạnh huyền là x + 1. Ta có (x + 1)2 = x2 + 81 ⇔ 2x + 1 = 81 ⇔ x = 40. Cạnh huyền bằng 41 cm.
Dạng 4. Vận dụng trong hình học tổng hợp
Phương pháp: kẻ thêm đường cao (hoặc dùng đường chéo) để tạo ra tam giác vuông, rồi áp dụng định lí Pythagore cho từng tam giác.
Bài 14. Cho ΔABC cân tại A có AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. Tính đường cao AH và diện tích tam giác.
Lời giải. Trong tam giác cân, đường cao AH cũng là trung tuyến nên BH = 6 cm. Trong ΔABH vuông tại H: AH2 = 100 − 36 = 64 ⇒ AH = 8 cm. Diện tích ΔABC = 12 · 8 : 2 = 48 cm2.
Bài 15. Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC = 16 cm, BD = 30 cm. Tính cạnh và chu vi hình thoi.
Lời giải. Hai đường chéo hình thoi vuông góc tại trung điểm O, nên OA = 8 cm, OB = 15 cm. Trong ΔOAB vuông tại O: AB2 = 64 + 225 = 289 ⇒ AB = 17 cm. Chu vi = 4 · 17 = 68 cm.
Bài 16. Cho ΔABC có đường cao AH (H nằm giữa B và C), AB = 13 cm, AH = 12 cm, HC = 16 cm. Tính BC, AC và cho biết ΔABC có vuông không.
Lời giải. Trong ΔABH vuông tại H: BH2 = 169 − 144 = 25 ⇒ BH = 5 cm, suy ra BC = 5 + 16 = 21 cm. Trong ΔAHC vuông tại H: AC2 = 144 + 256 = 400 ⇒ AC = 20 cm. Cạnh lớn nhất là BC, mà AB2 + AC2 = 569 ≠ 441 = BC2 nên ΔABC không vuông. Bài này nhắc em: có đường cao không có nghĩa là tam giác ban đầu vuông.
Bài 17. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 6 cm, đáy lớn CD = 14 cm, cạnh bên 5 cm. Tính chiều cao và diện tích hình thang.
Lời giải. Kẻ đường cao AH (H thuộc CD). Do hình thang cân nên DH = (14 − 6) : 2 = 4 cm. Trong ΔADH vuông tại H: AH2 = 25 − 16 = 9 ⇒ AH = 3 cm. Diện tích = (6 + 14) · 3 : 2 = 30 cm2.
Dạng 5. Bài toán thực tế
Phương pháp: vẽ hình mô phỏng, chỉ ra tam giác vuông (thường là tường – mặt đất, cột – mặt đất), gọi ẩn cho đại lượng cần tìm rồi lập hệ thức.
Bài 18. Một chiếc thang dài 5 m dựa vào tường thẳng đứng, chân thang cách chân tường 1,4 m. Hỏi đầu thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu?
Lời giải. Tường, mặt đất và thang tạo thành tam giác vuông có cạnh huyền là thang. Độ cao h thỏa mãn h2 = 52 − 1,42 = 25 − 1,96 = 23,04 ⇒ h = 4,8 m.
Bài 19. (Bài toán cổ) Một cây tre cao 9 m bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn tre chạm đất cách gốc 3 m. Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu mét?
Lời giải. Gọi khoảng cách từ gốc đến điểm gãy là x (0 < x < 9), phần ngọn gãy dài 9 − x và là cạnh huyền. Ta có x2 + 32 = (9 − x)2 ⇔ x2 + 9 = 81 − 18x + x2 ⇔ 18x = 72 ⇔ x = 4. Điểm gãy cách gốc 4 m (kiểm tra: 42 + 32 = 25 = 52).
Bài 20. Sân trường hình chữ nhật dài 40 m, rộng 30 m. Bạn Minh đi từ góc A đến góc đối diện C. Nếu đi dọc theo hai cạnh sân thì quãng đường dài hơn đi thẳng theo đường chéo bao nhiêu mét?
Lời giải. Đi theo hai cạnh: 40 + 30 = 70 m. Đường chéo AC2 = 402 + 302 = 2500 ⇒ AC = 50 m. Quãng đường đi theo hai cạnh dài hơn 70 − 50 = 20 m. Kết quả cũng minh họa bất đẳng thức tam giác: đường chéo luôn ngắn hơn tổng hai cạnh.
Bảng đáp số để tự kiểm tra
| Bài | Đáp số | Bài | Đáp số |
|---|---|---|---|
| 1 | BC = 15 cm | 11 | AB = 15 cm, AC = 36 cm |
| 2 | DF = 24 cm | 12 | 15 cm và 8 cm |
| 3 | NP ≈ 7,21 cm | 13 | 41 cm |
| 4 | a) ≈ 7,07 cm; b) ≈ 5,66 cm | 14 | AH = 8 cm; S = 48 cm2 |
| 5 | ≈ 5,20 cm | 15 | 17 cm; chu vi 68 cm |
| 6 | 17 cm | 16 | BC = 21 cm, AC = 20 cm, không vuông |
| 7 | a và c | 17 | h = 3 cm; S = 30 cm2 |
| 8 | Vuông tại A | 18 | 4,8 m |
| 9 | 9; 12; 15 cm; S = 54 cm2 | 19 | 4 m |
| 10 | Góc vuông | 20 | 20 m |
Lỗi sai thường gặp khi làm bài
- Nhầm cạnh huyền: cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông, không phải cạnh “nằm nghiêng” trên hình. Luôn xác định góc vuông trước.
- Cộng thay vì trừ: tìm cạnh góc vuông mà lại lấy tổng bình phương sẽ cho kết quả lớn hơn cạnh huyền – vô lí. Hãy so sánh: cạnh góc vuông phải nhỏ hơn cạnh huyền.
- Quên bình phương số thập phân: 1,42 = 1,96 chứ không phải 1,4 hay 2,8.
- Dùng định lí đảo sai cạnh: phải bình phương cạnh lớn nhất rồi so với tổng bình phương hai cạnh nhỏ.
- Không đổi đơn vị: như Bài 10, phải đổi 1 m = 100 cm trước khi tính.
Bài tập tự luyện thêm
- Cho ΔPQR vuông tại P có PQ = 16 cm, QR = 20 cm. Tính PR. Đáp số: 12 cm.
- Ba đoạn thẳng 11 cm, 60 cm, 61 cm có tạo thành tam giác vuông không? Đáp số: có, vì 121 + 3600 = 3721 = 612.
- Một chiếc ti vi có màn hình hình chữ nhật rộng 48 cm, cao 36 cm. Tính đường chéo màn hình. Đáp số: 60 cm.
Sau khi làm xong, các em có thể luyện tiếp 25 câu trắc nghiệm Định lí Pythagore hoặc xem giải SGK Toán 8 bài Định lí Pythagore để đối chiếu cách trình bày.
Câu hỏi thường gặp
Định lí Pythagore phát biểu như thế nào?
Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. Với ΔABC vuông tại A ta có BC² = AB² + AC².
Làm sao chứng minh một tam giác là tam giác vuông khi biết ba cạnh?
Dùng định lí Pythagore đảo: bình phương cạnh lớn nhất, so sánh với tổng bình phương hai cạnh còn lại. Nếu bằng nhau thì tam giác vuông tại đỉnh đối diện cạnh lớn nhất.
Những bộ ba Pythagore nào hay gặp trong bài tập Toán 8?
Hay gặp nhất là (3; 4; 5), (5; 12; 13), (8; 15; 17), (7; 24; 25), (20; 21; 29) và các bội của chúng như (6; 8; 10), (9; 12; 15), (12; 16; 20).
Định lí Pythagore học ở lớp mấy trong chương trình mới?
Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, định lí Pythagore và định lí đảo được học ở Toán 8, có trong cả ba bộ sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo và Cánh Diều.