Trả lời nhanh
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có 3 mặt phẳng đối xứng. Đó là ba mặt phẳng trung trực của ba nhóm cạnh song song: mỗi mặt phẳng song song với một cặp mặt đối diện và đi qua trung điểm của bốn cạnh vuông góc với cặp mặt ấy. Các mặt phẳng chéo không là mặt phẳng đối xứng vì ba kích thước khác nhau.
Mặt phẳng đối xứng của một hình là gì?
Mặt phẳng (P) là mặt phẳng đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua (P) biến H thành chính nó. Nói đơn giản: lấy (P) làm “tấm gương” thì hình ảnh trong gương trùng khít với hình ban đầu.
Với hình hộp chữ nhật, ta gọi ba kích thước là a, b, c (dài, rộng, cao) và a, b, c đôi một khác nhau.
Tìm ra 3 mặt phẳng đối xứng
Xét hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c. Ta có ba mặt phẳng “cắt đôi” hộp:
- Mặt phẳng song song với hai đáy, đi qua trung điểm các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ (cắt hộp theo độ cao c/2).
- Mặt phẳng song song với hai mặt (ABB’A’) và (CDD’C’), đi qua trung điểm các cạnh AD, BC, A’D’, B’C’ (cắt theo chiều rộng b).
- Mặt phẳng song song với hai mặt (ADD’A’) và (BCC’B’), đi qua trung điểm các cạnh AB, CD, A’B’, C’D’ (cắt theo chiều dài a).
Ở mỗi trường hợp, mặt phẳng là trung trực của các cạnh vuông góc với nó. Phép đối xứng đổi chỗ từng cặp đỉnh nằm hai bên: chẳng hạn ở mặt phẳng loại 1, A ↔ A’, B ↔ B’, C ↔ C’, D ↔ D’. Vì tám đỉnh được hoán đổi trong chính tập đỉnh nên hình hộp được giữ nguyên.
Vì sao không có thêm mặt phẳng đối xứng nào?
Đây là phần học sinh hay bị hỏi. Ta thử mặt phẳng “chéo” (ACC’A’) chứa đường chéo AC của đáy và cạnh bên AA’.
- Phép đối xứng qua (ACC’A’) giữ nguyên A, C và đưa B tới điểm B₁ nằm trong mặt đáy, đối xứng với B qua AC.
- Nếu hộp được bảo toàn thì B₁ phải là một đỉnh của đáy, mà AB₁ = AB = a. Trong đáy, đỉnh duy nhất còn lại (khác B) có thể là D, nhưng AD = b ≠ a.
- Vậy B₁ không là đỉnh của hộp, mặt phẳng chéo không là mặt phẳng đối xứng.
Tương tự với các mặt phẳng chéo khác. Mặt phẳng đối xứng của hộp bắt buộc phải hoán đổi các cạnh cùng độ dài; vì a, b, c khác nhau nên chỉ còn ba mặt phẳng trung trực ở trên.
So sánh các trường hợp (bảng tóm tắt)
| Hình | Điều kiện kích thước | Số mặt phẳng đối xứng |
|---|---|---|
| Hộp chữ nhật tổng quát | a, b, c đôi một khác nhau | 3 |
| Lăng trụ tứ giác đều (đáy vuông) | a = b ≠ c | 5 (3 mặt trung trực + 2 mặt chéo) |
| Hình lập phương | a = b = c | 9 (3 mặt trung trực + 6 mặt chéo) |
Mẹo nhớ: hộp càng “đều” thì càng nhiều mặt đối xứng. Mỗi lần hai kích thước bằng nhau, ta được thêm các mặt phẳng chéo.
Lỗi sai thường gặp
- Đếm cả mặt phẳng chéo (ví dụ chọn 6 hoặc 9) – đó là kết quả của hình lập phương, không phải hộp có ba kích thước khác nhau.
- Nhầm với trục đối xứng: hộp có ba kích thước khác nhau có 3 trục đối xứng (đường nối tâm hai mặt đối diện) và 1 tâm đối xứng (giao điểm các đường chéo), khác khái niệm mặt phẳng đối xứng.
- Nhầm với hình hộp thường: hình hộp xiên đáy bình hành tổng quát chỉ có tâm đối xứng, không có mặt phẳng đối xứng nào.
Bài luyện tập
- Lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AA’ = 5 có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Đáp án: 5. Đó là 3 mặt phẳng trung trực và 2 mặt phẳng chéo (ACC’A’), (BDD’B’) vì đáy là hình vuông. - Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Đáp án: 9, gồm 3 mặt phẳng trung trực của các cặp mặt đối diện và 6 mặt phẳng chứa hai cạnh đối diện. - Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Đáp án: 3. Gồm mặt phẳng song song với đáy qua trung điểm cạnh bên và hai mặt phẳng thẳng đứng chứa hai đường chéo đáy.
Câu hỏi thường gặp
Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Nếu ba kích thước đôi một khác nhau thì có 3 mặt phẳng đối xứng, là ba mặt phẳng trung trực của ba nhóm cạnh song song. Nếu đáy là hình vuông thì có 5, nếu là hình lập phương thì có 9.
Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng: 3 mặt phẳng trung trực của các cặp mặt đối diện và 6 mặt phẳng chéo chứa hai cạnh đối diện.
Mặt phẳng đối xứng khác trục đối xứng thế nào?
Mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng làm hình trùng với chính nó khi lấy đối xứng qua mặt phẳng đó. Trục đối xứng là đường thẳng mà phép quay 180 độ quanh nó biến hình thành chính nó. Hộp chữ nhật có ba kích thước khác nhau có 3 mặt phẳng và 3 trục đối xứng.
Vì sao mặt phẳng chéo của hộp chữ nhật không là mặt phẳng đối xứng?
Vì phép đối xứng qua mặt phẳng chéo đưa một đỉnh ra ngoài tập các đỉnh của hộp khi hai kích thước đáy khác nhau. Chỉ khi hai kích thước bằng nhau thì mặt chéo mới là mặt phẳng đối xứng.