So sánh P với 1: cách xét hiệu P − 1 (Toán 9)

Trả lời nhanh

Để so sánh P với 1, em xét hiệu P − 1, quy đồng thành một phân thức rồi xét dấu tử và mẫu dựa vào điều kiện của biến (ví dụ √x ≥ 0). Nếu P − 1 > 0 thì P > 1, nếu P − 1 < 0 thì P < 1. Khi dấu của hiệu phụ thuộc vào x, em chia trường hợp và kết luận riêng cho từng khoảng giá trị.

Vì sao phải xét hiệu thay vì “so sánh trực tiếp”?

Biểu thức P sau khi rút gọn thường là một phân thức chứa √x. Nếu em đem P so với 1 rồi nhân chéo ngay, em có thể đổi chiều bất đẳng thức một cách sai lầm vì chưa biết mẫu dương hay âm. Xét hiệu P − 1 giúp ta chỉ cần trả lời một câu hỏi duy nhất: hiệu này dương, âm hay đổi dấu?

Ba dạng so sánh thường gặp

Dạng 1: So sánh P với một số m (thường m = 1, 0, 1/2)

Tìm điều kiện xác định của biến.
Lập hiệu P − m, quy đồng và rút gọn về một phân thức.
Dùng điều kiện (√x ≥ 0, x ≥ 0, mẫu luôn dương…) để xét dấu tử và mẫu.
Kết luận: P − m > 0 ⇒ P > m; P − m < 0 ⇒ P < m.

Dạng 2: So sánh P với √P hoặc với P²

Em dựa vào vị trí của P so với 1. Với P > 0: nếu 0 < P < 1 thì P² < P < √P; nếu P > 1 thì √P < P < P²; nếu P = 1 thì ba số bằng nhau. Vì vậy, bước đầu tiên luôn là so sánh P với 1.

Dạng 3: Tìm x để P > m hoặc P < m

Chuyển m sang vế trái, quy đồng, rồi giải bất phương trình thương. Không được “khử mẫu” trừ khi em đã chắc chắn mẫu dương. Sau cùng đối chiếu nghiệm với điều kiện xác định.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Cho P = (√x + 1)/(√x + 3) với x ≥ 0. So sánh P với 1.

P − 1 = (√x + 1 − √x − 3)/(√x + 3) = −2/(√x + 3). Vì √x ≥ 0 nên √x + 3 > 0, do đó P − 1 < 0. Vậy P < 1 với mọi x ≥ 0.

Ví dụ 2. Cho P = √x/(√x − 1) với x ≥ 0, x ≠ 1. So sánh P với 1.

P − 1 = (√x − √x + 1)/(√x − 1) = 1/(√x − 1). Dấu của hiệu chính là dấu của mẫu √x − 1, nên cần chia trường hợp:

Nếu x > 1 thì √x − 1 > 0, suy ra P > 1.
Nếu 0 ≤ x < 1 thì √x − 1 < 0, suy ra P < 1.

Kiểm tra nhanh: x = 4 cho P = 2/1 = 2 > 1; x = 0 cho P = 0 < 1. Kết quả khớp.

Ví dụ 3. Cho P = 2/(√x + 3) với x ≥ 0. So sánh P với √P.

Vì √x ≥ 0 nên √x + 3 ≥ 3, suy ra 0 < P ≤ 2/3 < 1. Với 0 < P < 1 ta có P < √P.

Ví dụ 4. Cho P = √x/(√x + 2). Tìm x để P > 1/2.

Điều kiện x ≥ 0. Ta có P − 1/2 = (2√x − √x − 2)/(2(√x + 2)) = (√x − 2)/(2(√x + 2)). Mẫu luôn dương nên P > 1/2 ⇔ √x − 2 > 0 ⇔ x > 4. Thử x = 9: P = 3/5 = 0,6 > 0,5, đúng.

Mẹo nhớ

Mẫu dạng √x + a với a > 0 luôn dương: yên tâm khi xét dấu.
Mẫu dạng √x − a đổi dấu tại x = a²: phải chia trường hợp.
Hiệu P − 1 thường gọn hơn P nhiều, vì tử số “triệt tiêu” phần chứa √x.

Lỗi sai thường gặp

Quên điều kiện xác định (x ≥ 0, mẫu khác 0) nên kết luận cả những giá trị x không thuộc tập xác định.
Nhân chéo khi chưa biết dấu của mẫu, làm đổi chiều bất đẳng thức sai.
Kết luận “P < 1” cho mọi x trong khi hiệu đổi dấu (như Ví dụ 2).
Quên thử lại bằng một giá trị cụ thể của x để kiểm tra.

Bài luyện tập có đáp án

Cho P = (√x + 2)/(√x + 1), x ≥ 0. So sánh P với 1. Đáp án: P − 1 = 1/(√x + 1) > 0 nên P > 1.
Cho P = (√x − 1)/(√x + 2), x ≥ 0. So sánh P với 1. Đáp án: P − 1 = −3/(√x + 2) < 0 nên P < 1.
Cho P = √x/(√x + 3). Tìm x để P > 1/4. Đáp án: P − 1/4 = (3√x − 3)/(4(√x + 3)) > 0 ⇔ √x > 1 ⇔ x > 1.

Khi làm đề thi vào lớp 10, câu so sánh P với một số thường chiếm 0,25 đến 0,5 điểm nhưng rất dễ mất điểm vì thiếu điều kiện hoặc thiếu chia trường hợp. Hãy luôn ghi điều kiện ở dòng đầu và kiểm tra lại bằng một giá trị cụ thể của x.

Câu hỏi thường gặp

Muốn so sánh P với 1 thì làm thế nào?

Xét hiệu P − 1, quy đồng thành một phân thức, xét dấu tử và mẫu theo điều kiện của biến rồi kết luận P lớn hơn, nhỏ hơn hay bằng 1.

Khi nào phải chia trường hợp?

Khi dấu của hiệu P − 1 phụ thuộc vào x, ví dụ mẫu có dạng √x − a. Lúc đó em xét riêng x lớn hơn a² và x nhỏ hơn a².

So sánh P với √P thì dựa vào đâu?

Dựa vào vị trí của P so với 1: nếu 0 < P < 1 thì P 1 thì P > √P.

Có được nhân chéo để giải P > m không?

Chỉ được khi chắc chắn mẫu dương. Cách an toàn là chuyển m sang vế trái, quy đồng rồi xét dấu.