Trả lời nhanh
Tam giác ODE vuông cân tại O nên DE = R√2. Gọi H là trung điểm DE thì OH = R√2/2 và CH = R√34/2 (Pythagore trong tam giác OHC). Với thứ tự D, E, C trên tia DE: CE = R(√34 − √2)/2 và CD = R(√34 + √2)/2.
Đề bài
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Dây cung DE (không phải đường kính), tia DE cắt đường thẳng AB tại C. Biết góc DOE = 90° và OC = 3R.
a) Tính độ dài CD và CE theo R.
Trang này giải kỹ câu a). Các ý sau của bài (nếu đề của bạn có) thường là chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc hệ thức tích đoạn thẳng, bạn có thể dùng kết quả ở đây.
Phân tích đề
- OC = 3R > R nên C nằm ngoài đường tròn, DE là cát tuyến kẻ từ C.
- Vì tia DE cắt AB tại C nên đi từ D qua E rồi mới tới C: thứ tự các điểm là D, E, C. Suy ra CE < CD và CD − CE = DE.
- Góc DOE = 90° với OD = OE = R cho ta tam giác vuông cân, tính được DE ngay.
Cách 1: Kẻ OH vuông góc với DE
Bước 1. Tính DE và OH. Tam giác ODE vuông cân tại O, OD = OE = R, nên theo Pythagore:
DE² = OD² + OE² = 2R², suy ra DE = R√2.
Kẻ OH ⊥ DE tại H. Trong đường tròn, đường kính (bán kính) vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây, nên H là trung điểm DE: HD = HE = R√2/2. Tam giác ODE vuông cân nên đường cao OH cũng là trung tuyến ứng với cạnh huyền, OH = DE/2 = R√2/2.
Bước 2. Tính CH. Tam giác OHC vuông tại H:
CH² = OC² − OH² = 9R² − R²/2 = 17R²/2, suy ra CH = R√(17/2) = R√34/2.
Bước 3. Tính CE và CD. Do thứ tự D, E, C và H là trung điểm DE:
- CE = CH − HE = R√34/2 − R√2/2 = R(√34 − √2)/2 ≈ 2,21R;
- CD = CH + HD = R√34/2 + R√2/2 = R(√34 + √2)/2 ≈ 3,62R.
Cách 2: Dùng phương tích của điểm C
Hai ẩn CD, CE thoả mãn hai điều kiện:
- CD − CE = DE = R√2;
- CD · CE = CO² − R² = 9R² − R² = 8R² (phương tích của C đối với (O); có thể chứng minh bằng hai tam giác đồng dạng CEB và CAD khi nối thêm tiếp tuyến hoặc cát tuyến CAB).
Đặt CE = x thì CD = x + R√2, và x(x + R√2) = 8R², tức x² + R√2·x − 8R² = 0. Biệt thức Δ = 2R² + 32R² = 34R², nghiệm dương x = (−R√2 + R√34)/2 = R(√34 − √2)/2. Kết quả trùng cách 1.
Kiểm tra đáp số
| Phép kiểm | Tính | Kết quả |
|---|---|---|
| CD − CE | R(√34+√2)/2 − R(√34−√2)/2 | R√2 = DE ✓ |
| CD · CE | R²(34 − 2)/4 | 8R² = OC² − R² ✓ |
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm thứ tự điểm: nếu đề ghi “tia ED cắt AB tại C” thì thứ tự là E, D, C và hai kết quả đổi chỗ cho nhau. Luôn vẽ hình trước.
- Coi OH = R/2: OH là đường cao trong tam giác vuông cân cạnh góc vuông R nên OH = R√2/2, không phải R/2.
- Quên rút gọn căn: √(17/2) phải trục căn thành √34/2.
- Cho rằng C, D, O thẳng hàng: không có điều kiện nào đảm bảo điều này; D, E nằm trên cát tuyến chứ không nằm trên AB.
Mẹo nhớ
Bài “cát tuyến + dây có góc ở tâm đặc biệt” gần như luôn giải theo lược đồ: góc ở tâm → độ dài dây → khoảng cách từ tâm đến dây → Pythagore với OC → cộng hoặc trừ nửa dây. Có kết quả xong, hãy thử lại bằng CD · CE = OC² − R².
Bài luyện tập
Bài 1. Cho đường tròn (O; R), dây DE có góc DOE = 60°, tia DE cắt đường thẳng đi qua O tại C với OC = 2R (thứ tự D, E, C). Tính CD, CE theo R.
Đáp án: tam giác ODE đều nên DE = R, OH = R√3/2, CH² = 4R² − 3R²/4 = 13R²/4, CH = R√13/2. Vậy CE = R(√13 − 1)/2, CD = R(√13 + 1)/2. Kiểm tra: CD·CE = 12R²/4 = 3R² = OC² − R² ✓.
Bài 2. Với đề gốc, tính diện tích tam giác OCD theo R, biết CD = R(√34 + √2)/2.
Gợi ý: SOCD = ½ · OH · CD = ½ · (R√2/2) · R(√34 + √2)/2 = R²(√68 + 2)/8 = R²(√17 + 1)/4.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao OH = R√2/2?
Tam giác ODE vuông cân tại O có cạnh góc vuông R nên cạnh huyền DE = R√2. OH là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên bằng DE/2 = R√2/2.
Nếu đề cho tia ED cắt AB tại C thì kết quả thay đổi thế nào?
Thứ tự các điểm thành E, D, C nên hai kết quả đổi chỗ: CD = R(√34 − √2)/2 và CE = R(√34 + √2)/2. Cách làm giữ nguyên.
Có cách nào kiểm tra nhanh CD và CE vừa tính?
Kiểm tra CD − CE = DE = R√2 và CD · CE = OC² − R² = 8R². Cả hai đều đúng với kết quả trên.
Tại sao OC = 3R lại cho C nằm ngoài đường tròn?
Vì khoảng cách từ O đến C là 3R lớn hơn bán kính R, nên C nằm ngoài (O; R) và DE trở thành cát tuyến kẻ từ C.