Trả lời nhanh
B = sin6°·sin42°·sin66°·sin78° = 1/16. Đổi mỗi sin về cos của góc phụ, ta được B = cos12°·cos24°·cos48°·cos84°. Sau đó nhân và chia với sin12° để dùng liên tiếp công thức nhân đôi sin2a = 2sina·cosa, rồi dùng cos84° = −cos96° và sin192° = −sin12°. Kết quả 0,0625 trùng với máy tính bỏ túi.
Nhìn bài toán: vì sao các góc 6°, 42°, 66°, 78° đáng chú ý?
Bốn góc này lệch nhau theo quy luật: 6° + 78° = 84°, 42° + 66° = 108°, và 6°, 42°, 66°, 78° đều là bội của 6°. Khi gặp tích nhiều sin hoặc cos của các góc “đẹp” như vậy, hai hướng quen thuộc là: (1) tạo ra dãy góc gấp đôi liên tiếp rồi dùng công thức nhân đôi; (2) ghép thành bộ ba x, 60° − x, 60° + x.
Cách 1: Dùng công thức nhân đôi
- Đổi sin sang cos của góc phụ (sinα = cos(90° − α)): sin6° = cos84°, sin42° = cos48°, sin66° = cos24°, sin78° = cos12°. Vậy B = cos12°·cos24°·cos48°·cos84°.
- Dãy 12°, 24°, 48° là dãy gấp đôi, còn 84° thì không. Ta dùng cos84° = −cos96° (vì 84° + 96° = 180°). Suy ra B = −cos12°·cos24°·cos48°·cos96°. Bây giờ 12°, 24°, 48°, 96° gấp đôi liên tiếp.
- Đặt T = cos12°·cos24°·cos48°·cos96°. Nhân hai vế với 16·sin12°:
16sin12°·T = 8·(2sin12°cos12°)·cos24°cos48°cos96° = 8sin24°cos24°cos48°cos96° = 4sin48°cos48°cos96° = 2sin96°cos96° = sin192°. - Vì sin192° = sin(180° + 12°) = −sin12° nên 16sin12°·T = −sin12°. Do sin12° ≠ 0 nên T = −1/16.
- Vậy B = −T = 1/16.
Mẹo nhớ: muốn rút gọn tích cos a·cos 2a·cos 4a·…, hãy nhân thêm sin a, mỗi bước “nuốt” một cos.
Cách 2: Ghép theo bộ ba x, 60° − x, 60° + x
Có một công thức rất gọn: sinx·sin(60° − x)·sin(60° + x) = (1/4)·sin3x. Chứng minh nhanh: sin(60° − x)·sin(60° + x) = [cos2x − cos120°]/2 = (cos2x + 1/2)/2. Nhân với sinx được [sinx + 2sinx·cos2x]/4 = [sinx + (sin3x − sinx)]/4 = sin3x/4.
- Với x = 6°: sin6°·sin54°·sin66° = (1/4)·sin18°.
- Với x = 18°: sin18°·sin42°·sin78° = (1/4)·sin54°.
Nhân hai đẳng thức: (sin6°·sin66°·sin42°·sin78°)·(sin54°·sin18°) = (1/16)·sin18°·sin54°. Vế trái chính là B·sin18°·sin54°. Chia hai vế cho sin18°·sin54° ≠ 0 được B = 1/16.
Muốn kiểm tra thêm: sin18° = (√5 − 1)/4 và sin54° = (√5 + 1)/4 nên sin18°·sin54° = 1/4, nhưng ta không cần giá trị này để kết luận.
Thử lại bằng số
| Thừa số | Giá trị gần đúng |
|---|---|
| sin6° | 0,104528 |
| sin42° | 0,669131 |
| sin66° | 0,913545 |
| sin78° | 0,978148 |
| Tích | ≈ 0,0625 = 1/16 |
Lỗi sai thường gặp
- Quên đổi dấu khi chuyển cos84° thành −cos96°, dẫn đến kết quả −1/16.
- Đưa máy tính ở chế độ radian khi nhập góc độ nên ra số lạ. Hãy kiểm tra chữ D (độ) trên màn hình.
- Nhân thêm sin12° nhưng quên chia lại, hoặc sai hệ số 16 (có 4 thừa số cos nên có 4 lần nhân đôi, tức 2⁴ = 16).
- Viết sin192° = sin12° (sai). Góc 192° nằm ở góc phần tư thứ ba nên sin âm.
Bài luyện tập cùng dạng
- Tính cos20°·cos40°·cos80°. Đáp số: 1/8 (nhân với sin20° và dùng nhân đôi ba lần, sin160° = sin20°).
- Tính sin10°·sin50°·sin70°. Đáp số: 1/8 (dùng công thức bộ ba với x = 10°, sin30° = 1/2).
- Tính cos(π/7)·cos(2π/7)·cos(4π/7). Đáp số: −1/8 (nhân với sin(π/7), được sin(8π/7) = −sin(π/7)).
Làm xong, em thử tự đặt một biểu thức tương tự (ví dụ cos15°·cos30°·cos60°·cos120°) rồi áp dụng đúng quy trình trên để kiểm tra mình đã nắm chắc.
Câu hỏi thường gặp
sin6° sin42° sin66° sin78° bằng bao nhiêu?
Bằng 1/16 = 0,0625. Có thể chứng minh bằng công thức nhân đôi hoặc bằng công thức sinx·sin(60° − x)·sin(60° + x) = sin3x/4.
Vì sao phải đổi sin về cos trong cách giải thứ nhất?
Vì dãy cos12°, cos24°, cos48° có các góc gấp đôi liên tiếp, nhân với sin12° thì áp dụng được công thức sin2a = 2sina·cosa nhiều lần.
Có cách kiểm tra đáp số nhanh không?
Có. Đặt máy tính ở chế độ độ, nhập tích bốn giá trị sin rồi so với 0,0625. Hai kết quả trùng nhau là đáp số đúng.