Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (uₙ): cách giải, ví dụ

Lưu ý: đề bài cụ thể của bạn có thể có số liệu khác. Các ví dụ dưới đây là ví dụ tự đặt để minh hoạ phương pháp. Bạn chỉ cần thay số của mình vào các bước tương tự.

Kiến thức cần nhớ

• Dãy (u_n) là cấp số cộng khi u_n+1 = u_n + d với mọi n. Số d gọi là công sai.
• Số hạng tổng quát: u_n = u₁ + (n − 1)d.
• Mở rộng: u_m − u_k = (m − k)d. Công thức này giúp tìm d rất nhanh.
• Tính chất: u_k = (u_k−1 + u_k+1)/2. Nếu m + n = p + q thì u_m + u_n = u_p + u_q.
• Tổng n số hạng đầu: S_n = n(u₁ + u_n)/2 = n[2u₁ + (n − 1)d]/2.

Các bước tìm u₁ và d

1. Bước 1. Viết từng số hạng hoặc tổng trong đề theo u₁ và d.
2. Bước 2. Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Nếu đề cho hai số hạng thì có thể trừ vế theo vế để mất u₁.
3. Bước 3. Giải hệ, tìm d trước rồi tìm u₁.
4. Bước 4. Thử lại bằng cách tính các số hạng đề cho. Bước này tránh được hầu hết lỗi tính toán.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Biết hai số hạng

Cho cấp số cộng (u_n) có u₂ = 5 và u₅ = 14. Tìm u₁ và d.

Áp dụng u₅ − u₂ = 3d, ta có 14 − 5 = 3d, suy ra d = 3. Khi đó u₁ = u₂ − d = 5 − 3 = 2.

Thử lại: u₅ = 2 + 4·3 = 14 ✓. Đáp số: u₁ = 2, d = 3.

Ví dụ 2: Biết tổng hai số hạng

Cho cấp số cộng có u₁ + u₅ = 14 và u₂ + u₆ = 20. Tìm u₁ và d.

Ta có hệ: 2u₁ + 4d = 14 và 2u₁ + 6d = 20. Trừ vế theo vế được 2d = 6, nên d = 3. Thay vào phương trình đầu: 2u₁ + 12 = 14, suy ra u₁ = 1.

Thử lại: dãy 1, 4, 7, 10, 13, 16 có u₁ + u₅ = 14 và u₂ + u₆ = 20 ✓.

Ví dụ 3: Biết tổng và tích của ba số hạng liên tiếp

Cho cấp số cộng có u₁ + u₂ + u₃ = 15 và u₁u₂u₃ = 80. Tìm u₁ và d.

Đặt ba số là u₂ − d, u₂, u₂ + d. Tổng bằng 3u₂ = 15 nên u₂ = 5. Tích: 5(5 − d)(5 + d) = 80, tức 25 − d² = 16, nên d² = 9 và d = ±3.

• d = 3: u₁ = 5 − 3 = 2 (dãy 2, 5, 8).
• d = −3: u₁ = 5 + 3 = 8 (dãy 8, 5, 2).

Cả hai trường hợp đều thoả mãn: 2 + 5 + 8 = 15 và 2·5·8 = 80. Bài này có hai đáp án.

Ví dụ 4: Biết tổng n số hạng đầu

Cho cấp số cộng có S₅ = 25 và S₁₀ = 100. Tìm u₁ và d.

S₅ = 5(2u₁ + 4d)/2 = 25, suy ra 2u₁ + 4d = 10. S₁₀ = 10(2u₁ + 9d)/2 = 100, suy ra 2u₁ + 9d = 20. Trừ hai phương trình được 5d = 10, nên d = 2, rồi u₁ = 1.

Dãy 1, 3, 5, 7, … là các số lẻ liên tiếp. Tổng n số lẻ đầu tiên bằng n², nên S₅ = 25 và S₁₀ = 100 ✓.

Ví dụ 5: Biết công thức số hạng tổng quát

Cho dãy (u_n) với u_n = 3n − 7. Chứng minh đây là cấp số cộng và tìm u₁, d.

Ta có u_n+1 − u_n = [3(n + 1) − 7] − (3n − 7) = 3. Hiệu này không phụ thuộc n nên dãy là cấp số cộng với d = 3. Số hạng đầu u₁ = 3·1 − 7 = −4.

Lỗi sai thường gặp

• Viết u_n = u₁ + nd. Đúng phải là (n − 1)d. Hãy kiểm tra bằng n = 1, khi đó u₁ phải bằng chính nó.
• Khi lấy hiệu u_m − u_k, nhân nhầm hệ số m − k (ví dụ lấy u₅ − u₂ = 5d thay vì 3d).
• Bài có tích hoặc bình phương (như ví dụ 3) thường có hai nghiệm d, không được bỏ sót trường hợp d âm.
• Nhầm S_n với u_n khi đề cho “tổng của n số hạng đầu”.

Mẹo nhớ

Gặp hai số hạng thì lấy hiệu để tìm d. Gặp ba số hạng liên tiếp thì đặt u − d, u, u + d. Gặp tổng thì dùng S_n hoặc tính chất m + n = p + q. Chọn đúng cách ngay từ đầu sẽ giúp bài toán gọn hơn nhiều.

Bài luyện tập

1. Cho cấp số cộng có u₃ = 7 và u₇ = 19. Tìm u₁ và d.
2. Cho cấp số cộng có u₄ − u₂ = 6 và u₁ + u₅ = 14. Tìm u₁ và d.
3. Cho cấp số cộng có S₄ = 20 và u₄ = 11. Tìm u₁ và d.

Đáp án

1. 4d = 19 − 7 = 12 nên d = 3, u₁ = 7 − 2·3 = 1.
2. 2d = 6 nên d = 3. Từ 2u₁ + 4·3 = 14 suy ra u₁ = 1.
3. S₄ = 4(u₁ + 11)/2 = 20 nên u₁ = −1. Khi đó 3d = 11 − (−1) = 12 nên d = 4. Dãy −1, 3, 7, 11 có tổng 20 ✓.

Câu hỏi thường gặp

Biết hai số hạng bất kỳ của cấp số cộng thì tìm công sai thế nào?

Dùng công thức u_m − u_k = (m − k)d, suy ra d = (u_m − u_k)/(m − k). Sau đó tìm u₁ = u_k − (k − 1)d.

Khi nào bài tìm u₁ và d có hai đáp án?

Khi đề cho điều kiện bậc hai như tích hoặc tổng bình phương các số hạng. Khi đó d có thể nhận hai giá trị đối nhau, và mỗi giá trị cho một cấp số cộng thoả mãn.

Làm sao để chứng minh một dãy là cấp số cộng?

Xét hiệu u_{n+1} − u_n. Nếu hiệu này bằng một hằng số không phụ thuộc n thì dãy là cấp số cộng, và hằng số đó chính là công sai d.

Có cần thử lại kết quả không?

Nên thử lại. Chỉ cần tính lại vài số hạng theo u₁ và d vừa tìm, rồi so với dữ kiện đề cho, bạn sẽ phát hiện ngay sai sót trong phép tính.

Bài học liên quan

• Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp trực tiếp
• Tìm a, b để hàm số liên tục trên R: cách giải và ví dụ có đáp án
• Cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – Toán 11
• Hằng ngày mực nước của con kênh theo thủy triều: tìm t để độ sâu 15; 9; 10,5 m
• Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD, BM = 2MC: chứng minh MG // (ACD)
• Công thức cấp số cộng, cấp số nhân và nhị thức Newton lớp 11