Tìm a, b để hàm số liên tục trên R: cách giải và ví dụ có đáp án

Hàm số cho bởi nhiều công thức liên tục trên R khi nó liên tục tại mọi điểm nối. Với mỗi điểm nối x0, ta viết điều kiện limx→x₀⁻ f(x) = limx→x₀⁺ f(x) = f(x0). Mỗi điểm nối cho một phương trình theo a, b. Giải hệ đó ta tìm được a, b. Ví dụ kinh điển: hàm chia ba khoảng với các giá trị −3, ax + b, 3 cho a = 3, b = 0.

Tìm a để hàm số liên tục trên R: cách giải, ví dụ

Trả lời nhanh

Hàm số cho bởi nhiều công thức liên tục trên R khi nó liên tục tại mọi điểm nối. Với mỗi điểm nối x₀, ta viết điều kiện lim_x→x₀⁻ f(x) = lim_x→x₀⁺ f(x) = f(x₀). Mỗi điểm nối cho một phương trình theo a, b. Giải hệ đó ta tìm được a, b. Ví dụ kinh điển: hàm chia ba khoảng với các giá trị −3, ax + b, 3 cho a = 3, b = 0.

Lưu ý: đề gốc của bài này có nhiều dạng gần giống nhau, nên ở dưới mình trình bày phương pháp tổng quát rồi giải bằng các ví dụ tự đặt. Em thay số của đề mình vào đúng khuôn là làm được.

Cơ sở lý thuyết cần nhớ

Hàm đa thức, phân thức hữu tỉ, căn thức liên tục trên từng khoảng thuộc tập xác định của chúng.
Hàm f liên tục tại x₀ khi lim_x→x₀ f(x) = f(x₀). Giới hạn này tồn tại khi giới hạn trái bằng giới hạn phải.
Vì vậy, hàm “ghép” từ nhiều công thức chỉ có thể gián đoạn tại các điểm nối. Ta chỉ cần xét đúng các điểm đó.

Các bước giải

Bước 1. Xét từng khoảng không chứa điểm nối. Mỗi công thức là hàm sơ cấp nên liên tục, không cần điều kiện gì.
Bước 2. Tại mỗi điểm nối x₀, tính f(x₀) (xem dấu “=” thuộc nhánh nào), giới hạn trái và giới hạn phải.
Bước 3. Cho ba đại lượng đó bằng nhau, được phương trình theo a, b.
Bước 4. Giải hệ, kết luận và nên thử lại.

Mẹo nhớ: số điểm nối = số phương trình. Hai ẩn a, b thường đi cùng hai điểm nối. Một ẩn a thường đi cùng một điểm nối.

Ví dụ 1: hàm chia ba khoảng (hai tham số)

Cho f(x) = −3 nếu x ≤ −1; f(x) = ax + b nếu −1 < x < 1; f(x) = 3 nếu x ≥ 1. Tìm a, b để f liên tục trên R.

Giải. Hai điểm nối là x = −1 và x = 1.

Tại x = −1: f(−1) = −3, lim_{x→(−1)⁻} f(x) = −3, lim_{x→(−1)⁺} f(x) = −a + b. Liên tục khi −a + b = −3.
Tại x = 1: f(1) = 3, lim_x→1⁺ f(x) = 3, lim_x→1⁻ f(x) = a + b. Liên tục khi a + b = 3.

Cộng hai phương trình: 2b = 0 nên b = 0, suy ra a = 3.

Kết luận: a = 3, b = 0. Khi đó f(x) = 3x trên (−1; 1), đoạn thẳng nối đúng hai mức −3 và 3.

Ví dụ 2: nhánh cuối là hàm bậc hai

Cho f(x) = x + 2 nếu x ≤ 0; f(x) = ax + b nếu 0 < x < 2; f(x) = x² − 1 nếu x ≥ 2. Tìm a, b.

Tại x = 0: f(0) = 2 và lim_x→0⁺ f(x) = b. Vậy b = 2.
Tại x = 2: f(2) = 2² − 1 = 3 và lim_x→2⁻ f(x) = 2a + b. Vậy 2a + b = 3.

Thay b = 2: 2a = 1 nên a = 1/2. Đáp số: a = 1/2, b = 2.

Ví dụ 3: có phân thức, một tham số

Cho f(x) = (x² − 5x + 6)/(x − 3) nếu x ≠ 3; f(3) = a. Tìm a để f liên tục trên R.

Với x ≠ 3: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) nên f(x) = x − 2. Do đó lim_x→3 f(x) = 1. Liên tục tại 3 khi a = f(3) = 1. Tại các điểm khác, hàm là phân thức xác định nên liên tục. Đáp số: a = 1.

Lỗi sai thường gặp

Quên f(x₀). Chỉ cho giới hạn trái bằng giới hạn phải là chưa đủ. Phải bằng cả giá trị tại điểm đó.
Nhầm nhánh có dấu “=”. Ở ví dụ 1, f(−1) lấy ở nhánh x ≤ −1, không phải nhánh ax + b.
Thay sai giới hạn một phía. Giới hạn trái dùng công thức của khoảng bên trái điểm nối, giới hạn phải dùng khoảng bên phải.
Quên khử dạng 0/0. Gặp phân thức tại điểm nối thì phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp trước khi thay số.

Bài luyện tập

Cho f(x) = (x³ − 8)/(x − 2) nếu x ≠ 2; f(2) = a. Tìm a để f liên tục trên R.
Đáp án: x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4), giới hạn khi x→2 bằng 4 + 4 + 4 = 12, nên a = 12.
Cho f(x) = ax + 1 nếu x ≤ 1; f(x) = 3x² − a nếu x > 1. Tìm a để f liên tục trên R.
Đáp án: f(1) = a + 1, giới hạn phải là 3 − a. Cho a + 1 = 3 − a nên a = 1.
Cho f(x) = 2 nếu x ≤ 0; f(x) = ax + b nếu 0 < x < 1; f(x) = 5 nếu x ≥ 1. Tìm a, b.
Đáp án: tại 0: b = 2. Tại 1: a + b = 5 nên a = 3. Vậy a = 3, b = 2.

Câu hỏi thường gặp

Hàm số liên tục trên R nghĩa là gì?

Là hàm liên tục tại mọi điểm x thuộc R. Với hàm cho bởi nhiều công thức, ta chỉ cần kiểm tra thêm tại các điểm nối giữa các công thức.

Vì sao chỉ xét các điểm nối mà không xét mọi điểm?

Trong mỗi khoảng không chứa điểm nối, hàm là đa thức hay phân thức xác định nên đã liên tục sẵn. Chỗ duy nhất có thể gián đoạn là điểm nối.

Có bao nhiêu điểm nối thì có bấy nhiêu phương trình đúng không?

Đúng. Mỗi điểm nối cho một phương trình dạng giới hạn trái = giới hạn phải = giá trị hàm. Hai tham số a, b thường cần hai điểm nối.

Gặp dạng 0/0 tại điểm nối thì làm sao?

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn, hoặc nhân liên hợp nếu có căn. Sau đó mới thay giá trị x vào để tính giới hạn.