Trả lời nhanh
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là độ dài đoạn MH, với H là hình chiếu vuông góc của M trên (P). Để tính, ta dựng đường vuông góc từ M xuống giao tuyến của (P) với một mặt phẳng vuông góc (P) chứa M, hoặc đổi sang điểm khác (song song, tỉ lệ), hoặc dùng công thức d = 3V/S.
1. Khái niệm cần nhớ
Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P), khi đó d(M,(P)) = MH. Nếu M thuộc (P) thì khoảng cách bằng 0.
Điều khó nhất của dạng toán này là tìm được chân đường vuông góc H. Các phương pháp dưới đây đều xoay quanh việc đó, hoặc né việc dựng H bằng cách đổi sang bài toán dễ hơn.
2. Bốn phương pháp thường dùng
Phương pháp 1: Dựng trực tiếp hình chiếu
- Chọn mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P). Thường (Q) có sẵn trong hình (chứa một cạnh vuông góc với đáy).
- Xác định giao tuyến d = (P) ∩ (Q).
- Trong (Q), kẻ MH ⊥ d (H thuộc d). Khi đó MH ⊥ (P) và d(M,(P)) = MH.
- Tính MH bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Mẹo nhớ: khi tam giác vuông tại A có đường cao AH thì 1/AH² = 1/AB² + 1/AC². Công thức này gần như xuất hiện trong mọi bài hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy.
Phương pháp 2: Đổi điểm bằng song song
Nếu đường thẳng MN song song với (P) thì d(M,(P)) = d(N,(P)). Hãy chọn N là điểm “đẹp” hơn (ví dụ N nằm ngay dưới cạnh bên vuông góc).
Phương pháp 3: Đổi điểm bằng tỉ lệ
Nếu đường thẳng MN cắt (P) tại I thì d(M,(P)) / d(N,(P)) = IM / IN. Đặc biệt, nếu I là trung điểm MN thì hai khoảng cách bằng nhau.
Phương pháp 4: Dùng thể tích
Với tứ diện M.ABC: d(M,(ABC)) = 3V / SABC. Phương pháp này hợp khi khó dựng hình chiếu nhưng dễ tính thể tích và diện tích đáy (ví dụ tam giác đều).
3. Ví dụ minh hoạ
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a√2.
Ví dụ 1: d(A,(SBC))
Ta có BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB), suy ra (SBC) ⊥ (SAB) theo giao tuyến SB. Trong tam giác SAB kẻ AH ⊥ SB thì AH ⊥ (SBC).
Tam giác SAB vuông tại A: 1/AH² = 1/SA² + 1/AB² = 1/(2a²) + 1/a² = 3/(2a²). Vậy AH = a√6/3.
Ví dụ 2: d(D,(SBC))
Vì AD // BC nên AD // (SBC). Do đó d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = a√6/3.
Ví dụ 3: d(M,(SBC)) với M là trung điểm SA
Đường thẳng AM cắt (SBC) tại S và SM/SA = 1/2, nên d(M,(SBC)) = ½·d(A,(SBC)) = a√6/6.
Ví dụ 4: d(C,(SBD))
Gọi O = AC ∩ BD. Đường thẳng AC cắt (SBD) tại O và OA = OC, nên d(C,(SBD)) = d(A,(SBD)).
BD ⊥ AC, BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC). Trong (SAC) kẻ AK ⊥ SO thì AK ⊥ BD, do đó AK ⊥ (SBD). Có AO = a√2/2, SA = a√2:
1/AK² = 1/SA² + 1/AO² = 1/(2a²) + 2/a² = 5/(2a²) ⇒ AK = a√10/5.
Ví dụ 5 (dùng thể tích): khoảng cách từ S đến (ABC)
Tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Thể tích V = a³/6. Tam giác ABC đều cạnh a√2 nên SABC = a²√3/2.
d(S,(ABC)) = 3V/S = (a³/2) : (a²√3/2) = a/√3 = a√3/3.
4. Lỗi sai thường gặp
- Kẻ MH ⊥ giao tuyến nhưng quên kiểm tra (Q) có vuông góc (P) hay không, nên không kết luận được MH ⊥ (P).
- Dùng tỉ lệ nhầm: tỉ lệ khoảng cách là IM/IN với I là giao điểm của MN và mặt phẳng, không phải tỉ lệ độ dài cạnh bất kì.
- Dùng d(M,(P)) = d(N,(P)) khi MN chỉ “trông có vẻ” song song mà chưa chứng minh.
- Dùng công thức 3V/S nhưng lấy sai diện tích mặt đối diện đỉnh cần tính.
5. Bài luyện tập
- Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = BC = a. Tính d(A,(SBC)).
Đáp án: BC ⊥ (SAB), kẻ AH ⊥ SB; 1/AH² = 1/a² + 1/a² nên AH = a√2/2. - Với hình chóp ở bài 1, tính d(C,(SAB)).
Đáp án: CB ⊥ (SAB) nên d = CB = a. - Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính d(A,(A’BD)).
Đáp án: tứ diện A.A’BD có V = a³/6; tam giác A’BD đều cạnh a√2, diện tích a²√3/2; d = 3V/S = a√3/3.
6. Cách chọn phương pháp nhanh
| Dấu hiệu trong đề | Nên dùng |
|---|---|
| Có cạnh bên vuông góc đáy, điểm nằm trên cạnh đó hoặc ở đáy | Phương pháp 1 (dựng AH ⊥ giao tuyến) |
| Điểm cần tính nằm trên đường song song với mặt phẳng | Phương pháp 2 |
| Điểm là trung điểm hoặc nằm trên đường cắt mặt phẳng | Phương pháp 3 |
| Tứ diện, đáy là tam giác đều hoặc dễ tính thể tích | Phương pháp 4 |
Câu hỏi thường gặp
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là gì?
Là độ dài đoạn thẳng nối điểm đó với hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng, tức độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất từ điểm đến mặt phẳng.
Khi nào được dùng d(M,(P)) = d(N,(P))?
Khi MN song song với mặt phẳng (P), hoặc khi MN cắt (P) tại trung điểm của đoạn MN.
Khi nào nên dùng công thức d = 3V/S?
Khi khó dựng đường vuông góc nhưng dễ tính thể tích khối tứ diện và diện tích mặt đáy chứa điểm cần xét, ví dụ tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc.
Làm sao chứng minh MH vuông góc với mặt phẳng (P)?
Chỉ ra MH nằm trong mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và MH vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q); hoặc chứng minh MH vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).