Trả lời nhanh
Dãy số (un) là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ ℕ*, tức là un+1 − un < 0 với mọi n. Muốn biết dãy nào trong đề là dãy giảm, em xét hiệu un+1 − un của từng dãy: dãy nào có hiệu luôn âm thì là dãy giảm. Dưới đây là cách làm kèm các ví dụ minh hoạ.
Đề bài “Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?” thường đi kèm bốn dãy cho bằng công thức số hạng tổng quát. Vì các phương án thay đổi theo từng đề, bài viết này trình bày phương pháp chung và các ví dụ do chúng tôi tự đặt. Em chỉ cần áp dụng đúng quy trình cho từng phương án trong đề của mình.
Định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy số tăng: un+1 > un với mọi n ∈ ℕ*.
- Dãy số giảm: un+1 < un với mọi n ∈ ℕ*.
- Dãy không đơn điệu: không tăng cũng không giảm (lúc tăng, lúc giảm).
Chú ý chữ “với mọi n”. Chỉ cần một vị trí n làm bất đẳng thức sai là dãy không còn là dãy giảm.
Ba cách kiểm tra dãy số giảm
Cách 1: Xét hiệu H = un+1 − un
Tính H rồi xét dấu. Nếu H < 0 với mọi n thì dãy giảm. Nếu H > 0 với mọi n thì dãy tăng. Đây là cách dùng được cho hầu hết các dãy, nhất là dãy phân thức và dãy đa thức.
Cách 2: Xét thương (chỉ khi mọi số hạng dương)
Với un > 0 với mọi n, tính un+1/un. Nếu thương này < 1 với mọi n thì dãy giảm. Cách này hợp với dãy có luỹ thừa hoặc giai thừa. Nếu có số hạng âm, đừng dùng cách này vì khi nhân chéo bất đẳng thức sẽ đổi chiều.
Cách 3: Dùng hàm số
Nếu un = f(n) và f nghịch biến trên [1; +∞) thì dãy giảm. Cách này chỉ là điều kiện đủ. Nhiều dãy giảm nhưng hàm f(x) tương ứng không nghịch biến trên cả khoảng, nên khi nghi ngờ hãy quay về cách 1.
Ví dụ có lời giải (tự đặt)
Ví dụ 1: un = 1/n
un+1 − un = 1/(n+1) − 1/n = −1/[n(n+1)] < 0 với mọi n ≥ 1. Vậy đây là dãy giảm.
Ví dụ 2: un = (2n+1)/(n+2)
Nhìn thoáng qua dễ tưởng phân số “giảm”, nhưng ta tính:
un+1 − un = (2n+3)/(n+3) − (2n+1)/(n+2) = [(2n+3)(n+2) − (2n+1)(n+3)] / [(n+3)(n+2)] = (2n²+7n+6 − 2n²−7n−3)/[(n+3)(n+2)] = 3/[(n+3)(n+2)] > 0.
Vậy đây là dãy tăng, không phải dãy giảm.
Ví dụ 3: un = 5/2n
Mọi số hạng đều dương nên xét thương: un+1/un = 2n/2n+1 = 1/2 < 1. Vậy dãy giảm.
Ví dụ 4: un = (−1)n/n
Ta có u1 = −1, u2 = 1/2, u3 = −1/3. Vì u1 < u2 nhưng u2 > u3 nên dãy lúc tăng lúc giảm: không phải dãy giảm.
Ví dụ 5: un = n² − 6n
un+1 − un = (n+1)² − 6(n+1) − n² + 6n = 2n − 5. Với n = 1, 2 hiệu âm; với n ≥ 3 hiệu dương. Cụ thể u1 = −5, u2 = −8, u3 = −9, u4 = −8. Dãy không đơn điệu, chỉ giảm ở vài số hạng đầu.
Mẹo nhận biết nhanh
| Dạng dãy | Điều kiện để là dãy giảm |
|---|---|
| Cấp số cộng, công sai d | d < 0 (ví dụ un = 10 − 3n có d = −3) |
| Cấp số nhân, u1 > 0 | 0 < q < 1 |
| Cấp số nhân, u1 < 0 | q > 1 (ví dụ un = −2n) |
| Cấp số nhân có q < 0 | Không bao giờ đơn điệu vì dấu đan xen |
Với bài trắc nghiệm, em có thể thử nhanh vài số hạng đầu để loại phương án: chỉ cần thấy u2 ≥ u1 hoặc u3 ≥ u2 là loại ngay. Sau đó mới chứng minh bằng hiệu cho phương án còn lại.
Lỗi sai thường gặp
- Chỉ thử vài số hạng đầu rồi kết luận giảm. Ví dụ 5 cho thấy dãy có thể giảm ở đầu rồi tăng về sau.
- Nhầm “số hạng nhỏ dần về 0” với “dãy giảm”. Dãy (−1)n/n có số hạng tiến về 0 nhưng không giảm.
- Dùng cách xét thương khi dãy có số hạng âm.
- Nhầm dãy giảm với dãy bị chặn dưới. Hai khái niệm này độc lập nhau.
- Xét dấu hiệu sai do quy đồng nhầm, nên hãy kiểm tra lại bằng cách thay n = 1, 2.
Bài luyện tập
- Xét tính tăng, giảm của un = (n+1)/n.
- Xét tính tăng, giảm của un = 2n − n.
- Dãy un = (−2)n có phải dãy giảm không?
Đáp án
- un = 1 + 1/n nên un+1 − un = 1/(n+1) − 1/n = −1/[n(n+1)] < 0. Dãy giảm.
- un+1 − un = 2n+1 − (n+1) − 2n + n = 2n − 1 ≥ 1 > 0 với n ≥ 1. Dãy tăng.
- Không. Các số hạng −2, 4, −8, 16, … đổi dấu liên tục, dãy không đơn điệu.
Câu hỏi thường gặp
Dãy số giảm là gì?
Là dãy (un) thoả mãn un+1 < un với mọi số nguyên dương n, nghĩa là mỗi số hạng nhỏ hơn số hạng đứng ngay trước nó.
Làm sao chứng minh một dãy số là dãy giảm?
Tính hiệu un+1 − un rồi chứng minh hiệu này âm với mọi n. Nếu mọi số hạng dương, có thể chứng minh un+1/un < 1.
Dãy số có các số hạng tiến về 0 có phải dãy giảm không?
Không nhất thiết. Ví dụ dãy (−1)^n/n có số hạng tiến về 0 nhưng lúc tăng lúc giảm nên không phải dãy giảm.
Cấp số cộng nào là dãy số giảm?
Cấp số cộng có công sai d < 0 là dãy giảm, vì un+1 − un = d luôn âm.