Trả lời nhanh
Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền dài 12,5 cm. Theo định lí Pythagore, cạnh huyền là √(7² + 24²) = √625 = 25 cm. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền, nên độ dài cần tìm là 25 : 2 = 12,5 cm.
Đề bài
Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông (các cạnh kề góc vuông) bằng 7 cm và 24 cm.
Lời giải chi tiết
Gọi tam giác vuông là ABC, vuông tại A, với AB = 7 cm, AC = 24 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Khi đó AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.
Bước 1: Tính cạnh huyền BC. Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A:
BC² = AB² + AC² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625
Suy ra BC = √625 = 25 (cm).
Bước 2: Dùng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền.
AM = BC : 2 = 25 : 2 = 12,5 (cm).
Đáp số: 12,5 cm.
Vì sao trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền?
Đừng chỉ học thuộc, hãy hiểu lí do để nhớ lâu:
- Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Khi đó M là trung điểm của cả AD và BC.
- Tứ giác ABDC có hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.
- Hình bình hành này có một góc vuông tại A nên là hình chữ nhật.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau: AD = BC. Mà AM = AD : 2 nên AM = BC : 2.
Nói cách khác, M cách đều ba đỉnh A, B, C (MA = MB = MC = 12,5 cm), tức M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, còn cạnh huyền chính là đường kính.
Kiểm tra lại bằng cách khác
Dùng công thức độ dài trung tuyến AM = ½·√(2·AB² + 2·AC² − BC²):
AM = ½·√(2·49 + 2·576 − 625) = ½·√(98 + 1152 − 625) = ½·√625 = ½ · 25 = 12,5 (cm).
Hai cách cho cùng kết quả, vậy đáp số 12,5 cm là đúng.
Mẹo nhớ và lỗi sai thường gặp
- Bộ ba Pythagore: (7; 24; 25) là một bộ ba số nguyên thường gặp, giống (3; 4; 5), (5; 12; 13), (8; 15; 17). Nhận ra sớm sẽ đỡ phải bấm máy.
- Nhầm cạnh huyền: cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông, luôn là cạnh dài nhất. Không lấy 24 làm cạnh huyền rồi tính 24 : 2 = 12.
- Cộng thay vì cộng bình phương: BC không phải là 7 + 24 = 31 mà là √(7² + 24²).
- Nhầm trung tuyến: tính chất “bằng nửa cạnh” chỉ đúng với trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền. Trung tuyến ứng với cạnh góc vuông thì không có tính chất này.
Bài luyện tập
- Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm. Tính trung tuyến ứng với cạnh huyền.
Đáp án: huyền = √(36 + 64) = 10 cm, trung tuyến = 5 cm. - Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5 cm và 12 cm. Tính trung tuyến ứng với cạnh huyền.
Đáp án: huyền = 13 cm, trung tuyến = 6,5 cm. - Tam giác vuông có trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 8,5 cm và một cạnh góc vuông bằng 8 cm. Tính cạnh góc vuông còn lại.
Đáp án: huyền = 2 · 8,5 = 17 cm; cạnh còn lại = √(17² − 8²) = √225 = 15 cm.
Câu hỏi thường gặp
Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 7 cm và 24 cm dài bao nhiêu?
Dài 12,5 cm. Cạnh huyền là √(7² + 24²) = 25 cm, và trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền nên bằng 25 : 2 = 12,5 cm.
Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền là gì?
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng nửa cạnh huyền. Ngược lại, tam giác có trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì là tam giác vuông.
Có cần tính cạnh huyền trước khi tìm trung tuyến không?
Có, vì đề chỉ cho hai cạnh góc vuông. Phải dùng định lí Pythagore để tìm cạnh huyền, sau đó chia đôi để được độ dài trung tuyến.
Vì sao trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh tam giác vuông?
Vì trung điểm M của cạnh huyền thoả MA = MB = MC = BC : 2, nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, cạnh huyền là đường kính.