Trả lời nhanh
Một tứ giác gọi là ngoại tiếp đường tròn khi đường tròn đó tiếp xúc với cả bốn cạnh của nó. Tứ giác lồi ABCD ngoại tiếp một đường tròn khi và chỉ khi AB + CD = BC + AD, tức là tổng hai cạnh đối này bằng tổng hai cạnh đối kia. Tâm đường tròn nội tiếp là giao của các đường phân giác trong.
1. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp là gì?
Hai khái niệm này rất dễ lẫn, nên em hãy nhớ theo vị trí của đường tròn so với hình:
- Đường tròn ngoại tiếp một đa giác: đi qua tất cả các đỉnh của đa giác (đường tròn “bao ngoài”). Đa giác khi đó gọi là nội tiếp đường tròn.
- Đường tròn nội tiếp một đa giác: tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác (đường tròn “nằm trong”). Đa giác khi đó gọi là ngoại tiếp đường tròn.
Mẹo nhớ: chữ “ngoại” đứng trước đường tròn thì đường tròn nằm ngoài, đi qua đỉnh. Chữ “nội” đứng trước đường tròn thì đường tròn nằm trong, chạm các cạnh. Còn với tên của đa giác thì ngược lại: “tứ giác nội tiếp” nghĩa là tứ giác nằm trong đường tròn.
2. Tam giác: tâm và bán kính hai đường tròn
Mọi tam giác đều có đúng một đường tròn ngoại tiếp và đúng một đường tròn nội tiếp.
| Nội dung | Đường tròn ngoại tiếp (R) | Đường tròn nội tiếp (r) |
|---|---|---|
| Tâm | Giao ba đường trung trực | Giao ba đường phân giác trong |
| Tính chất tâm | Cách đều ba đỉnh | Cách đều ba cạnh |
| Tam giác vuông | Tâm là trung điểm cạnh huyền, R = c/2 | r = (a + b − c)/2 (c là cạnh huyền) |
| Tam giác đều cạnh a | R = a√3/3 | r = a√3/6 (r = R/2) |
| Công thức diện tích | S = abc/(4R) | S = p·r (p là nửa chu vi) |
Ví dụ. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm, cạnh huyền 10 cm. Khi đó R = 10/2 = 5 cm. Bán kính nội tiếp r = (6 + 8 − 10)/2 = 2 cm. Kiểm tra: S = 6·8/2 = 24 và p·r = 12·2 = 24, khớp nhau.
3. Đa giác đều
Đa giác đều luôn có cả đường tròn ngoại tiếp lẫn nội tiếp, và hai đường tròn này cùng tâm. Với cạnh a:
| Đa giác đều | R | r |
|---|---|---|
| Tam giác đều | a√3/3 | a√3/6 |
| Hình vuông | a√2/2 | a/2 |
| Lục giác đều | a | a√3/2 |
Lục giác đều có R = a nên mỗi cạnh bằng bán kính. Đây là lý do ta dùng compa chia đường tròn thành 6 phần bằng nhau.
4. Tứ giác ngoại tiếp đường tròn
4.1. Định nghĩa
Đường tròn tiếp xúc với cả bốn cạnh của tứ giác gọi là đường tròn nội tiếp tứ giác. Tứ giác đó gọi là tứ giác ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nằm trong tứ giác và cách đều bốn cạnh, nên là giao điểm các tia phân giác của bốn góc.
4.2. Tính chất và dấu hiệu nhận biết
- Tính chất: nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn thì AB + CD = BC + AD.
- Dấu hiệu: nếu tứ giác lồi ABCD có AB + CD = BC + AD thì ABCD ngoại tiếp một đường tròn.
Hai mệnh đề này hợp lại thành: tứ giác lồi ABCD ngoại tiếp đường tròn khi và chỉ khi AB + CD = BC + AD.
Vì sao đúng? Gọi M, N, P, Q là các tiếp điểm trên AB, BC, CD, DA. Hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm tới đường tròn thì có độ dài bằng nhau. Ta đặt AM = AQ = a, BM = BN = b, CN = CP = c, DP = DQ = d. Khi đó AB + CD = (a + b) + (c + d) và BC + AD = (b + c) + (d + a). Hai tổng cùng bằng a + b + c + d.
4.3. Diện tích
Tứ giác ngoại tiếp đường tròn bán kính r có diện tích S = p·r, trong đó p là nửa chu vi. Vì AB + CD = BC + AD nên p bằng đúng tổng hai cạnh đối, tức p = AB + CD.
4.4. Phân biệt với tứ giác nội tiếp
| Tiêu chí | Tứ giác nội tiếp | Tứ giác ngoại tiếp |
|---|---|---|
| Đường tròn | Đi qua 4 đỉnh | Tiếp xúc 4 cạnh |
| Điều kiện | Tổng hai góc đối bằng 180° | Tổng hai cạnh đối bằng nhau |
| Tâm | Giao các đường trung trực | Giao các đường phân giác |
| Ví dụ | Hình chữ nhật, hình thang cân | Hình thoi, hình vuông |
Hình vuông vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp. Hình chữ nhật chỉ ngoại tiếp khi nó là hình vuông. Hình thoi chỉ nội tiếp khi nó là hình vuông. Hình thang cân luôn nội tiếp, và nó ngoại tiếp khi tổng hai đáy bằng tổng hai cạnh bên.
Em xem thêm bài tứ giác nội tiếp để so sánh: Lý thuyết Tứ giác nội tiếp Toán 9.
5. Dạng 1: Tính độ dài cạnh của tứ giác ngoại tiếp
Phương pháp: viết hệ thức AB + CD = BC + AD, rồi kết hợp với định lý Pythagore hoặc các tính chất của hình (hình thang vuông, hình thang cân) để lập phương trình.
Ví dụ 1. Hình thang cân ABCD (AB // CD) ngoại tiếp đường tròn, AB = 4 cm, CD = 9 cm. Tính cạnh bên, chiều cao và bán kính đường tròn nội tiếp.
- Hai cạnh bên bằng nhau, đặt BC = AD = x. Theo tính chất: AB + CD = BC + AD nên 4 + 9 = 2x, suy ra x = 6,5 cm.
- Kẻ BH vuông góc với CD. Do hình thang cân nên HC = (9 − 4)/2 = 2,5 cm.
- BH² = BC² − HC² = 42,25 − 6,25 = 36, nên BH = 6 cm.
- Chiều cao bằng đường kính đường tròn nội tiếp, nên r = 6/2 = 3 cm.
Kiểm tra bằng diện tích: S = (4 + 9)/2 · 6 = 39 và p·r = 13·3 = 39. Kết quả đúng.
Ví dụ 2. Hình thang vuông ABCD (góc A và góc D bằng 90°) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Biết OB = 9 cm, OC = 12 cm. Tính AB và CD.
- BO và CO là phân giác của hai góc kề cạnh bên BC, mà hai góc này bù nhau (AB // CD). Vậy góc OBC + góc OCB = 90°, suy ra góc BOC = 90°.
- Trong tam giác vuông BOC: BC = √(9² + 12²) = 15 cm.
- Gọi E là tiếp điểm trên BC. Đường cao OE ứng với cạnh huyền nên r = OE = 9·12/15 = 7,2 cm.
- BE = √(OB² − OE²) = √(81 − 51,84) = 5,4 cm và CE = √(144 − 51,84) = 9,6 cm. Kiểm tra: 5,4 + 9,6 = 15, khớp với BC.
- Vì góc A = góc D = 90° nên AB = r + BE = 7,2 + 5,4 = 12,6 cm và CD = r + CE = 7,2 + 9,6 = 16,8 cm.
Kiểm tra: AD = 2r = 14,4 và AB + CD = 29,4 = AD + BC = 14,4 + 15. Kết quả đúng.
6. Dạng 2: Chứng minh tứ giác ngoại tiếp đường tròn
Phương pháp: cách chính là chứng minh tứ giác lồi có tổng hai cạnh đối bằng tổng hai cạnh đối còn lại. Cách khác là chỉ ra một điểm cách đều bốn cạnh.
Ví dụ 3. Tứ giác lồi ABCD có AB = 7 cm, BC = 5 cm, CD = 9 cm, DA = 11 cm. Hỏi tứ giác có ngoại tiếp đường tròn không?
Ta có AB + CD = 7 + 9 = 16 và BC + DA = 5 + 11 = 16. Hai tổng bằng nhau và tứ giác lồi, nên ABCD ngoại tiếp một đường tròn.
Ví dụ 4 (bài chứng minh thường gặp). Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn. Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đường tròn nội tiếp tam giác ACD tiếp xúc với AC tại cùng một điểm.
- Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc AC tại P thì AP = (AB + AC − BC)/2.
- Đường tròn nội tiếp tam giác ACD tiếp xúc AC tại Q thì AQ = (AC + AD − CD)/2.
- Ta có AP = AQ khi và chỉ khi AB − BC = AD − CD, tức là AB + CD = BC + AD. Điều này đúng vì ABCD ngoại tiếp.
- P và Q cùng nằm trên đoạn AC và cách A một khoảng bằng nhau nên P trùng Q. Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm đó (tâm hai đường tròn nằm về hai phía của AC).
Công thức AP = (AB + AC − BC)/2 xuất hiện rất nhiều: tiếp điểm trên một cạnh của tam giác cách đỉnh đoạn bằng “nửa tổng hai cạnh kề trừ cạnh đối diện”.
7. Lỗi sai thường gặp
- Lẫn hai điều kiện: dùng “tổng hai góc đối bằng 180°” để chứng minh ngoại tiếp. Điều kiện này chỉ dành cho tứ giác nội tiếp.
- Quên điều kiện lồi: dấu hiệu AB + CD = BC + AD chỉ áp dụng cho tứ giác lồi.
- Ghép sai cặp cạnh: cạnh đối là AB với CD và BC với DA, không phải AB với BC.
- Nhầm R với r: trong tam giác đều, R = 2r. Đừng đổi chỗ hai bán kính này.
- Quên chiều cao: với hình thang ngoại tiếp, chiều cao bằng 2r. Nhiều bạn lấy chiều cao bằng r.
8. Bài luyện tập có đáp án
- Hình thang cân ngoại tiếp đường tròn có chu vi 40 cm. Tính độ dài mỗi cạnh bên.
Đáp án: tổng hai đáy bằng tổng hai cạnh bên, nên chu vi bằng 2 lần tổng hai cạnh bên, tức 4 lần cạnh bên. Vậy cạnh bên = 40/4 = 10 cm. - Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn, AB = 8 cm, BC = 6 cm, CD = 10 cm. Tính AD.
Đáp án: AD = AB + CD − BC = 8 + 10 − 6 = 12 cm. - Tam giác đều cạnh 6 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.
Đáp án: R = 6√3/3 = 2√3 cm, r = 6√3/6 = √3 cm. - Hình thoi có thể nội tiếp đường tròn khi nào?
Đáp án: hình thoi luôn ngoại tiếp vì có AB + CD = BC + DA. Nó nội tiếp khi tổng hai góc đối bằng 180°. Hai góc đối của hình thoi bằng nhau nên mỗi góc là 90°, tức là hình vuông.
9. Tài liệu luyện tập thêm
- 50 bài tập Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp có đáp án
- 30 câu trắc nghiệm Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
- Giải SGK Toán 9 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
- Giải SBT Toán 9 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
Câu hỏi thường gặp
Điều kiện để tứ giác ngoại tiếp đường tròn là gì?
Tứ giác lồi ABCD ngoại tiếp một đường tròn khi và chỉ khi tổng hai cạnh đối này bằng tổng hai cạnh đối kia: AB + CD = BC + AD.
Tâm đường tròn nội tiếp tứ giác nằm ở đâu?
Tâm nằm trong tứ giác, cách đều bốn cạnh, là giao điểm của các đường phân giác trong của các góc tứ giác.
Hình nào vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đường tròn?
Hình vuông. Hình chữ nhật chỉ ngoại tiếp khi là hình vuông, hình thoi chỉ nội tiếp khi là hình vuông.
Đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác khác nhau thế nào?
Đường tròn ngoại tiếp đi qua ba đỉnh, có tâm là giao ba đường trung trực. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc ba cạnh, có tâm là giao ba đường phân giác trong.