Công thức tính thể tích khối cầu và bài tập vận dụng

1. Khối cầu và mặt cầu khác nhau thế nào?

Mặt cầu tâm O bán kính r là tập hợp mọi điểm cách O một khoảng đúng bằng r. Nó giống lớp vỏ quả bóng, không có “bên trong”.

Khối cầu gồm mặt cầu cùng toàn bộ phần không gian nằm bên trong nó. Vì vậy ta tính diện tích của mặt cầu nhưng tính thể tích của khối cầu. Khi đề bài viết “thể tích mặt cầu”, em hiểu là thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu đó.

2. Công thức thể tích khối cầu

• Theo bán kính: V = (4/3).π.r³
• Theo đường kính d = 2r: V = π.d³/6
• Diện tích mặt cầu (hay đi kèm): S = 4.π.r²

Đơn vị thể tích là đơn vị độ dài mũ ba (cm³, m³…). Nếu đề không yêu cầu số gần đúng thì nên để kết quả dạng “bội của π” cho chính xác.

Vì sao trong công thức có r³?

Thể tích đo “độ lớn ba chiều”, nên khi mọi kích thước nhân lên k lần thì thể tích nhân lên k³ lần. Bán kính gấp đôi thì thể tích gấp 2³ = 8 lần; bán kính gấp ba thì thể tích gấp 27 lần. Đây là chỗ nhiều bạn nhầm sang gấp 2 hoặc gấp 4 lần.

Mẹo nhớ

Nhà toán học Archimedes phát hiện: khối cầu bán kính r có thể tích bằng 2/3 thể tích hình trụ ngoại tiếp nó (đáy bán kính r, chiều cao 2r). Thể tích hình trụ đó là π.r².2r = 2π.r³, và 2/3 của nó đúng là (4/3).π.r³. Nhớ được “2/3 hình trụ” thì khó quên hệ số 4/3.

3. Cách tính thể tích khối cầu theo 3 bước

1. Xác định bán kính r (đổi từ đường kính, từ diện tích mặt cầu, hoặc từ hình đi kèm).
2. Thay r vào V = (4/3).π.r³; tính r³ trước, nhân sau.
3. Ghi kết quả kèm đơn vị; đổi sang số thập phân nếu đề yêu cầu (π ≈ 3,14 hoặc dùng máy tính).

Ví dụ 1 (cho bán kính)

Khối cầu có r = 3 cm. V = (4/3).π.3³ = (4/3).π.27 = 36π ≈ 113,1 cm³.

Ví dụ 2 (cho đường kính)

Quả bóng có đường kính 12 cm nên r = 6 cm. V = (4/3).π.6³ = (4/3).π.216 = 288π ≈ 904,8 cm³. Dùng công thức theo d cũng được: π.12³/6 = π.1728/6 = 288π, khớp kết quả.

Ví dụ 3 (cho diện tích mặt cầu)

Mặt cầu có diện tích 100π cm². Từ 4π.r² = 100π suy ra r² = 25, r = 5 cm. Khi đó V = (4/3).π.125 = 500π/3 ≈ 523,6 cm³.

Ví dụ 4 (thả vật vào nước)

Một cốc hình trụ có bán kính đáy 6 cm đựng nước. Thả chìm hoàn toàn một viên bi cầu bán kính 3 cm (nước không tràn). Thể tích viên bi là 36π cm³, bằng thể tích phần nước dâng thêm: π.6².h = 36π, suy ra 36h = 36, h = 1 cm. Nước dâng lên 1 cm.

4. Mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp

Dạng bài hay gặp ở lớp 12: cho một khối đa diện, tìm bán kính mặt cầu rồi tính thể tích.

• Mặt cầu ngoại tiếp đa diện: đi qua tất cả đỉnh của đa diện. Bán kính R là khoảng cách từ tâm đến mỗi đỉnh.
• Mặt cầu nội tiếp đa diện: tiếp xúc với tất cả các mặt. Bán kính r là khoảng cách từ tâm đến mỗi mặt.

Hình	Bán kính mặt cầu
Lập phương cạnh a – ngoại tiếp	R = a√3/2 (nửa đường chéo)
Lập phương cạnh a – nội tiếp	r = a/2
Hộp chữ nhật a, b, c – ngoại tiếp	R = √(a² + b² + c²)/2
Tứ diện đều cạnh a – ngoại tiếp	R = a√6/4
Tứ diện đều cạnh a – nội tiếp	r = a√6/12
Hình trụ bán kính đáy r, cao h – ngoại tiếp	R = √(r² + h²/4)
Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc đáy	R² = Rđáy² + SA²/4 (Rđáy là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy)

Hình trên là mặt cắt qua hai cạnh đối của hình lập phương cạnh a: mặt cắt là hình chữ nhật a × a√2, đường chéo của nó chính là đường kính mặt cầu. Pitago cho 2R = √(a² + 2a²) = a√3, tức R = a√3/2.

Ví dụ 5 (lập phương ngoại tiếp)

Hình lập phương cạnh 2 nội tiếp một mặt cầu. Bán kính R = 2√3/2 = √3, nên V = (4/3).π.(√3)³ = (4/3).π.3√3 = 4√3.π.

Ví dụ 6 (hộp chữ nhật)

Hộp chữ nhật có ba kích thước 1, 2, 2 nội tiếp mặt cầu. Đường chéo = √(1 + 4 + 4) = 3, nên R = 3/2. V = (4/3).π.(27/8) = 9π/2.

Ví dụ 7 (mặt cầu nội tiếp lập phương)

Mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương cạnh a có đường kính bằng a, nên V = (4/3).π.(a/2)³ = π.a³/6. Tỉ số thể tích khối cầu và khối lập phương là π/6 ≈ 0,52, nghĩa là khối cầu chiếm hơn một nửa khối lập phương chứa nó.

5. Lỗi sai thường gặp

• Nhầm đường kính với bán kính: đề cho “đường kính 10” mà thay luôn r = 10. Hãy chia đôi trước.
• Lẫn công thức diện tích và thể tích: S = 4πr² (mũ 2), V = (4/3)πr³ (mũ 3).
• Quên mũ ba trước khi nhân: (4/3).π.r³ ≠ ((4/3).π.r)³.
• Bán kính chứa căn: khi r = √3 thì r³ = 3√3, không phải 3.
• Quên đơn vị khối: viết “cm” hoặc “cm²” thay vì cm³.

6. Bài luyện tập có đáp án

1. Tính thể tích khối cầu có đường kính 10 cm.
2. Khối cầu có thể tích 288π cm³. Tính bán kính.
3. Hình lập phương cạnh 4 ngoại tiếp một khối cầu (mặt cầu tiếp xúc cả 6 mặt). Tính thể tích khối cầu.
4. Mặt cầu bán kính r được thu nhỏ bán kính còn một nửa. Thể tích giảm đi bao nhiêu lần?

Đáp án

1. r = 5 cm, V = (4/3).π.125 = 500π/3 ≈ 523,6 cm³.
2. (4/3).π.r³ = 288π, suy ra r³ = 288.3/4 = 216, r = 6 cm.
3. Đường kính khối cầu bằng cạnh hình lập phương nên r = 2. V = (4/3).π.8 = 32π/3 ≈ 33,5.
4. Thể tích mới = (1/2)³ = 1/8 thể tích cũ, tức giảm đi 8 lần.

7. Học tiếp những phần liên quan

Muốn viết phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz rồi suy ra bán kính, em xem bài Phương trình mặt cầu: lý thuyết và các dạng bài tập. Để so sánh cách tính thể tích các khối khác, em có thể xem công thức thể tích hình chóp, thể tích khối lăng trụ và thể tích khối tròn xoay (khối cầu cũng là khối tròn xoay khi quay nửa hình tròn quanh đường kính). Bảng công thức tổng hợp có ở bảng tóm tắt công thức Toán lớp 12.

Câu hỏi thường gặp

Công thức thể tích mặt cầu là gì?

Thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu bán kính r là V = (4/3).π.r³. Nếu biết đường kính d thì V = π.d³/6.

Thể tích khối cầu và diện tích mặt cầu khác nhau thế nào?

Diện tích mặt cầu S = 4πr² đo phần vỏ ngoài (đơn vị cm², m²), còn thể tích V = (4/3)πr³ đo phần không gian bên trong (đơn vị cm³, m³).

Bán kính tăng gấp đôi thì thể tích khối cầu thay đổi thế nào?

Thể tích tăng gấp 2³ = 8 lần vì trong công thức bán kính có số mũ ba. Diện tích mặt cầu thì chỉ tăng gấp 4 lần.

Làm sao tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật?

Tâm mặt cầu là tâm hình hộp, bán kính bằng nửa đường chéo: R = √(a² + b² + c²)/2 với a, b, c là ba kích thước của hộp.

Bài học liên quan

• Chọn mệnh đề đúng: ln(a/b) = ln a − ln b với a, b > 0
• Nguyên hàm của ln x: ∫ ln x dx bằng bao nhiêu?
• Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng bao nhiêu? Đáp án 8a³
• Khối 12 mặt đều là khối đa diện đều thuộc loại nào? {4;3} hay {5;3}
• Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
• Cho hàm số y = f(x), đồ thị y = f'(x) như hình: y = f(2 − x) đồng biến trên khoảng nào?