Trả lời nhanh
Hai tam giác bằng nhau khi có 3 cặp cạnh tương ứng bằng nhau và 3 cặp góc tương ứng bằng nhau. Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c) cho phép kết luận nhanh hơn: nếu ba cạnh của tam giác này lần lượt bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau. Khi viết kí hiệu, các đỉnh tương ứng phải đứng cùng vị trí.
1. Hai tam giác bằng nhau
Hai tam giác gọi là bằng nhau nếu có thể đặt chồng khít lên nhau. Nói theo ngôn ngữ toán học: các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.
Với ΔABC và ΔMNP, ta nói ΔABC = ΔMNP khi:
- AB = MN, BC = NP, CA = PM (ba cặp cạnh tương ứng);
- ∠A = ∠M, ∠B = ∠N, ∠C = ∠P (ba cặp góc tương ứng).
Quy tắc viết kí hiệu: đúng thứ tự đỉnh
Khi viết ΔABC = ΔMNP, đỉnh thứ nhất A tương ứng đỉnh thứ nhất M, đỉnh thứ hai B tương ứng N, đỉnh thứ ba C tương ứng P. Chỉ cần nhìn kí hiệu là đọc được ngay các cặp cạnh, cặp góc bằng nhau.
| Kí hiệu | Cặp đỉnh | Cặp cạnh | Cặp góc |
|---|---|---|---|
| ΔABC = ΔMNP | A–M, B–N, C–P | AB = MN; BC = NP; CA = PM | ∠A = ∠M; ∠B = ∠N; ∠C = ∠P |
| ΔABC = ΔPMN | A–P, B–M, C–N | AB = PM; BC = MN; CA = NP | ∠A = ∠P; ∠B = ∠M; ∠C = ∠N |
Hai dòng trên là hai khẳng định khác nhau. Với cùng một cặp tam giác, thường chỉ một cách ghép đỉnh là đúng.
Mẹo tìm đỉnh tương ứng: góc bằng nhau thì đỉnh tương ứng; cạnh đối diện với các góc bằng nhau cũng tương ứng. Cạnh ngắn nhất ghép với cạnh ngắn nhất, cạnh dài nhất ghép với cạnh dài nhất.
Ví dụ 1
Cho ΔABC = ΔMNP, biết AB = 5 cm, BC = 6 cm, CA = 4 cm, ∠A = 80°. Tính MN, NP, PM, ∠M và chu vi ΔMNP.
Giải. Từ kí hiệu: MN = AB = 5 cm; NP = BC = 6 cm; PM = CA = 4 cm; ∠M = ∠A = 80°. Chu vi ΔMNP = 5 + 6 + 4 = 15 cm.
Ví dụ 2
Cho ΔABC = ΔDEF, ∠A = 70°, ∠B = 50°. Tính ∠F.
Giải. Trong ΔABC: ∠C = 180° − 70° − 50° = 60° (tổng ba góc của tam giác). Vì ΔABC = ΔDEF nên đỉnh C tương ứng F, suy ra ∠F = ∠C = 60°.
Bài này dùng kiến thức ở bài trước: xem lại Lý thuyết Bài 12: Tổng các góc trong một tam giác.
2. Trường hợp bằng nhau thứ nhất: cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)
Cách vẽ tam giác khi biết ba cạnh
Muốn vẽ ΔABC có AB = 2 cm, AC = 3 cm, BC = 4 cm, ta làm như sau:
- Dùng thước vẽ đoạn BC = 4 cm.
- Mở compa 2 cm, đặt tâm tại B, vẽ một cung tròn. Mở compa 3 cm, đặt tâm tại C, vẽ cung tròn thứ hai.
- Hai cung cắt nhau tại A. Nối AB, AC ta được tam giác cần vẽ.
Hai cung cắt nhau được vì 2 + 3 > 4. Nếu ba độ dài không thoả mãn điều kiện tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại thì hai cung không cắt nhau và không có tam giác nào.
Điều thú vị: dù vẽ ở vị trí nào, lật hay xoay, mọi tam giác vẽ theo ba độ dài đó đều chồng khít nhau. Đây chính là lí do của trường hợp c.c.c.
Nội dung trường hợp c.c.c
Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Viết dưới dạng kí hiệu: nếu AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ thì ΔABC = ΔA’B’C’ (c.c.c).
Ưu điểm lớn: chỉ cần kiểm tra cạnh, không cần biết số đo góc. Sau khi chứng minh hai tam giác bằng nhau, ta suy ra ngay các góc tương ứng bằng nhau.
Ba bước trình bày một bài chứng minh c.c.c
- Xét hai tam giác cần chứng minh (viết rõ tên theo thứ tự đỉnh tương ứng).
- Liệt kê ba cặp cạnh bằng nhau, ghi lí do: giả thiết, cạnh chung, trung điểm…
- Kết luận “ΔXYZ = ΔX’Y’Z’ (c.c.c)” và nếu cần suy ra góc bằng nhau (hai góc tương ứng).
Ví dụ 3: hình “cái diều”
Cho tứ giác ABCD có AB = AD và CB = CD. a) Chứng minh ΔABC = ΔADC. b) Biết ∠BAC = 35°, tính ∠BAD.
Giải.
a) Xét ΔABC và ΔADC có: AB = AD (giả thiết); CB = CD (giả thiết); AC là cạnh chung. Vậy ΔABC = ΔADC (c.c.c).
b) Từ ΔABC = ΔADC suy ra ∠BAC = ∠DAC (hai góc tương ứng), tức AC là tia phân giác của ∠BAD. Do đó ∠BAD = 2 · ∠BAC = 2 · 35° = 70°.
Chú ý ở câu a: cạnh chung AC là “cặp cạnh bằng nhau” mà đề không cho, nhưng ta phải tự phát hiện. Đây là điểm học sinh hay bỏ sót.
Ví dụ 4: vì sao vẽ phân giác bằng compa lại đúng?
Cách vẽ tia phân giác của ∠xOy bằng thước và compa:
- Vẽ đường tròn tâm O cắt Ox, Oy tại A và B.
- Vẽ đường tròn tâm A bán kính AO và đường tròn tâm B bán kính BO; hai đường tròn cắt nhau tại M khác O.
- Vẽ tia OM, đó là tia phân giác của ∠xOy.
Chứng minh: OA = OB (cùng là bán kính đường tròn tâm O); MA = AO và MB = BO (bán kính các đường tròn tâm A, tâm B). Suy ra MA = MB. Xét ΔOAM và ΔOBM có OA = OB, MA = MB, OM chung nên ΔOAM = ΔOBM (c.c.c). Vậy ∠AOM = ∠BOM, nghĩa là OM là phân giác của ∠xOy.
3. Những lỗi thường gặp
- Viết sai thứ tự đỉnh. Ví dụ ΔABC = ΔHDE khác ΔABC = ΔDEH. Hãy ghép đỉnh theo cạnh/góc bằng nhau trước rồi mới viết kí hiệu.
- Ghép nhầm cạnh. Phải so sánh đúng cạnh tương ứng, không phải “ba số bằng nhau” nói chung.
- Quên cạnh chung. Khi hai tam giác chung một cạnh, nhớ ghi “… là cạnh chung”.
- Suy góc quá sớm. Chỉ được kết luận hai góc bằng nhau (hai góc tương ứng) sau khi đã chứng minh xong hai tam giác bằng nhau.
- Quên ghi “(c.c.c)”. Cuối chứng minh luôn nêu trường hợp đã dùng.
4. Bảng tóm tắt
| Nội dung | Cần nhớ |
|---|---|
| Định nghĩa | 3 cạnh và 3 góc tương ứng bằng nhau |
| Kí hiệu | Đỉnh tương ứng viết cùng thứ tự |
| Trường hợp c.c.c | Ba cạnh bằng ba cạnh thì hai tam giác bằng nhau |
| Hệ quả | Hai tam giác bằng nhau ⇒ cạnh, góc tương ứng bằng nhau |
5. Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Cho ΔMNP = ΔEFG, ∠M = 80°, ∠N = 45°. Tính ∠G.
Đáp án: ∠P = 180° − 80° − 45° = 55°. P tương ứng G nên ∠G = 55°.
Bài 2. Cho ΔABC = ΔHIK có AB = 4 cm, BC = 6 cm, chu vi ΔHIK bằng 15 cm. Tính CA.
Đáp án: Hai tam giác bằng nhau thì chu vi bằng nhau nên AB + BC + CA = 15. Vậy CA = 15 − 4 − 6 = 5 cm.
Bài 3. Cho ΔABC có AB = AC, M là trung điểm của BC. Chứng minh ΔABM = ΔACM và AM ⊥ BC.
Đáp án: Xét ΔABM và ΔACM có AB = AC (giả thiết), MB = MC (M là trung điểm BC), AM chung. Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c). Suy ra ∠AMB = ∠AMC. Mà ∠AMB + ∠AMC = 180° (hai góc kề bù) nên mỗi góc bằng 90°, tức AM ⊥ BC.
Bài 4. Cho ΔPQR = ΔSTU. Viết các cặp cạnh bằng nhau và các cặp góc bằng nhau.
Đáp án: PQ = ST; QR = TU; RP = US; ∠P = ∠S; ∠Q = ∠T; ∠R = ∠U.
6. Học tiếp và luyện đề
- 20 câu trắc nghiệm Bài 13 có đáp án
- Giải SGK Toán 7 Bài 13
- Sách bài tập Toán 7 Bài 13
- Vở thực hành Toán 7 Bài 13
- Lý thuyết Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba
- Lý thuyết Toán 7 Chương 4: Tam giác bằng nhau
Câu hỏi thường gặp
Hai tam giác bằng nhau khi nào?
Khi chúng có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau và ba cặp góc tương ứng bằng nhau. Trên thực tế, ở Bài 13 ta thường dùng trường hợp c.c.c để chỉ cần kiểm tra ba cặp cạnh.
Trường hợp bằng nhau c.c.c của tam giác phát biểu thế nào?
Nếu ba cạnh của tam giác này lần lượt bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Kí hiệu: AB = A'B', BC = B'C', CA = C'A' thì ΔABC = ΔA'B'C'.
Vì sao phải viết các đỉnh tương ứng cùng thứ tự khi kí hiệu hai tam giác bằng nhau?
Vì thứ tự đỉnh cho biết ngay cặp cạnh và cặp góc tương ứng. Viết sai thứ tự sẽ làm ghép nhầm các yếu tố bằng nhau và dẫn đến kết luận sai.
Có thể vẽ tam giác với ba độ dài bất kì không?
Không. Ba độ dài chỉ vẽ được tam giác khi tổng hai độ dài bất kì lớn hơn độ dài còn lại. Nếu không, hai cung tròn vẽ bằng compa sẽ không cắt nhau.