Trả lời nhanh
Hàm số f(x) = cot x là một nguyên hàm của hàm số g(x) = −1/sin²x (viết khác: −(1 + cot²x)) trên khoảng (0; π). Lý do: F(x) là nguyên hàm của g(x) khi F′(x) = g(x), mà (cot x)′ = −1/sin²x với mọi x làm sin x ≠ 0, trong đó có mọi x thuộc (0; π).
Hiểu đúng câu hỏi
Đề hỏi “cot x là nguyên hàm của hàm nào”, nghĩa là cot x đóng vai F(x), còn ta phải tìm hàm f(x) = F′(x). Cách làm chỉ gồm một bước: lấy đạo hàm của cot x.
Nhiều bạn đọc vội thành “tìm nguyên hàm của cot x” rồi đi tích phân, kết quả sẽ sai hướng. Hãy nhớ: “là nguyên hàm của” thì đạo hàm; “tìm nguyên hàm của” thì tích phân.
Lời giải chi tiết
Trên khoảng (0; π), sin x > 0 nên cot x = cos x / sin x xác định. Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
(cot x)′ = [(cos x)′·sin x − cos x·(sin x)′] / sin²x = [−sin²x − cos²x] / sin²x = −1/sin²x.
Vậy cot x là một nguyên hàm của −1/sin²x trên (0; π). Viết dưới dạng tích phân:
∫ (−1/sin²x) dx = cot x + C, hay ∫ dx/sin²x = −cot x + C.
Vì 1/sin²x = 1 + cot²x nên đáp án cũng có thể được cho dưới dạng −(1 + cot²x) = −1 − cot²x. Hai biểu thức này bằng nhau, đừng nhầm là hai đáp án khác nhau.
Nếu đề cho dạng trắc nghiệm, loại trừ thế nào?
Đề gốc có bốn phương án, bạn chỉ cần đối chiếu với kết quả −1/sin²x. Khi gặp các dạng hay xuất hiện, hãy loại như sau:
- 1/sin²x: sai dấu. Đây là đạo hàm của −cot x, không phải của cot x.
- 1/cos²x: là đạo hàm của tan x, nhầm giữa tan và cot.
- −1/cos²x: là đạo hàm của −tan x, vẫn không liên quan đến cot x.
- ln|sin x|: đây là nguyên hàm của cot x, tức chiều ngược lại của bài này.
Chỉ biểu thức −1/sin²x (hoặc −1 − cot²x) thoả mãn.
Bảng nhớ nhanh các cặp đạo hàm – nguyên hàm lượng giác
| Hàm F(x) | F′(x) = f(x) | Nguyên hàm tương ứng |
|---|---|---|
| sin x | cos x | ∫cos x dx = sin x + C |
| cos x | −sin x | ∫sin x dx = −cos x + C |
| tan x | 1/cos²x | ∫dx/cos²x = tan x + C |
| cot x | −1/sin²x | ∫dx/sin²x = −cot x + C |
Mẹo nhớ: các hàm có chữ “co” (cos, cot) khi đạo hàm đều mang dấu trừ.
Phân biệt với nguyên hàm của cot x
Bài toán khác: ∫cot x dx = ∫(cos x / sin x) dx. Đặt t = sin x, dt = cos x dx, ta được ∫dt/t = ln|t| + C, tức:
∫cot x dx = ln|sin x| + C.
Trên (0; π) vì sin x > 0 nên viết gọn ln(sin x) + C. Đây là điểm dễ nhầm, nên hãy luôn đọc kỹ vị trí của cot x trong câu hỏi.
Lỗi sai thường gặp
- Quên dấu trừ: viết (cot x)′ = 1/sin²x.
- Nhầm “là nguyên hàm của” với “tìm nguyên hàm của”.
- Quên khoảng xác định: cot x không xác định tại x = kπ, nên chỉ nói nguyên hàm trên các khoảng không chứa các điểm này, chẳng hạn (0; π).
- Không nhận ra −1/sin²x = −(1 + cot²x) khi đề cho dưới dạng cot.
Bài luyện tập
- Tìm nguyên hàm của g(x) = 2/sin²x trên (0; π).
Đáp án: ∫2/sin²x dx = −2cot x + C. - Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = −1/sin²x trên (0; π) thoả F(π/2) = 3.
Đáp án: F(x) = cot x + C; cot(π/2) = 0 nên C = 3, F(x) = cot x + 3. - Tính ∫cot²x dx trên (0; π).
Đáp án: cot²x = 1/sin²x − 1 nên ∫cot²x dx = −cot x − x + C.
Câu hỏi thường gặp
Hàm số cot x là nguyên hàm của hàm số nào?
Cot x là một nguyên hàm của −1/sin²x (cũng bằng −1 − cot²x) trên mỗi khoảng không chứa kπ, ví dụ khoảng (0; π), vì (cot x)′ = −1/sin²x.
Nguyên hàm của cot x bằng bao nhiêu?
∫cot x dx = ln|sin x| + C. Cách làm: đặt t = sin x thì dt = cos x dx và tích phân trở thành ∫dt/t.
Vì sao đề phải nói "trên khoảng (0; π)"?
Vì cot x không xác định tại x = kπ. Nguyên hàm chỉ xét trên khoảng mà hàm số liên tục; (0; π) là một khoảng như vậy.
−1/sin²x và −(1 + cot²x) có phải hai hàm khác nhau không?
Không. Do 1/sin²x = 1 + cot²x nên hai biểu thức bằng nhau với mọi x mà sin x ≠ 0.