Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: song song, cắt nhau hoặc trùng nhau
Lớp 12Toán

Chuyên đề vị trí tương đối của hai mặt phẳng Oxyz: lý thuyết, ví dụ, bài tập

Trả lời nhanh

Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0. Hai mặt phẳng cắt nhau nếu hai vectơ pháp tuyến n = (A; B; C) và n’ = (A’; B’; C’) không cùng phương. Nếu n, n’ cùng phương thì xét thêm hệ số tự do: trùng nhau khi D, D’ cũng cùng tỉ lệ đó, song song khi D, D’ không theo tỉ lệ đó.

1. Kiến thức cần nhớ

Mỗi mặt phẳng trong Oxyz được xác định bởi một vectơ pháp tuyến. Vì vậy, muốn biết hai mặt phẳng nằm đối với nhau thế nào, ta chỉ cần so sánh hai vectơ pháp tuyến, rồi “kiểm tra thêm” hệ số tự do khi cần.

Với (P): Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² ≠ 0) và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (A’² + B’² + C’² ≠ 0), ta có bảng sau:

Vị trí Điều kiện (khi A’, B’, C’, D’ khác 0) Ý nghĩa hình học
Cắt nhau A : B : C ≠ A’ : B’ : C’ n và n’ không cùng phương; hai mặt phẳng có chung một đường thẳng
Song song A/A’ = B/B’ = C/C’ ≠ D/D’ n và n’ cùng phương, không có điểm chung
Trùng nhau A/A’ = B/B’ = C/C’ = D/D’ Hai phương trình chỉ khác nhau một hệ số nhân

Hình dưới đây minh hoạ ba trường hợp khi nhìn hai mặt phẳng “nghiêng” từ một phía (mỗi mặt phẳng thu thành một đường thẳng).

Ba vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cắt nhau, song song, trùng nhau
Ba vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P) và (Q) khi nhìn nghiêng, mỗi mặt phẳng thu thành một đường thẳng.

2. Cách làm gọn, tránh chia cho 0

Viết tỉ số A/A’ chỉ an toàn khi mẫu khác 0. Khi đề có hệ số bằng 0 (ví dụ mặt phẳng thiếu biến y), em nên dùng một trong hai cách sau.

  1. Tìm hệ số k: kiểm tra xem có số k sao cho (A; B; C) = k·(A’; B’; C’) hay không. Nếu không có thì cắt nhau. Nếu có thì tính tiếp D so với k·D’.
  2. Tích có hướng: tính [n, n’]. Nếu [n, n’] ≠ 0 thì cắt nhau. Nếu [n, n’] = 0 thì n, n’ cùng phương, rồi mới xét D.

Mẹo nhớ: “Pháp tuyến quyết định cắt hay không, hằng số quyết định trùng hay song song.”

3. Các lỗi sai thường gặp

  • Chỉ so sánh ba hệ số đầu rồi kết luận trùng. Ba tỉ số bằng nhau mới chỉ cho biết n, n’ cùng phương. Phải so thêm D và D’.
  • Quên đưa về cùng dạng. Ví dụ (Q) viết dạng 2x − y = 3z + 1 thì phải chuyển vế thành 2x − y − 3z − 1 = 0 trước khi lấy hệ số.
  • Nhầm dấu khi so tỉ số. Tỉ số có thể âm. Chẳng hạn (4; −2; 6; 8) và (−2; 1; −3; −4) cùng tỉ lệ −2.
  • Nhầm điều kiện hai điểm cùng phía hay khác phía (xem mục 6).

4. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của từng cặp

a) (P): 2x − y + 3z − 4 = 0 và (Q): x + 2y − z + 5 = 0.

Giải. n = (2; −1; 3), n’ = (1; 2; −1). Ta thấy 2/1 = 2 nhưng −1/2 ≠ 2 nên n, n’ không cùng phương. Kết luận: cắt nhau.

b) (P): 4x − 2y + 6z + 8 = 0 và (Q): −2x + y − 3z − 4 = 0.

Giải. 4/(−2) = −2, (−2)/1 = −2, 6/(−3) = −2, 8/(−4) = −2. Cả bốn tỉ số bằng nhau nên trùng nhau.

c) (P): x − 3y + 2z − 1 = 0 và (Q): 3x − 9y + 6z + 5 = 0.

Giải. 1/3 = (−3)/(−9) = 2/6 = 1/3, nhưng (−1)/5 ≠ 1/3. Kết luận: song song.

d) (P): x − 2z + 3 = 0 và (Q): 2x − 4z + 1 = 0 (thiếu biến y).

Giải. n = (1; 0; −2), n’ = (2; 0; −4) = 2n nên cùng phương. Với k = 2 thì 2·3 = 6 ≠ 1, tức hằng số không theo tỉ lệ. Kết luận: song song.

Ví dụ 2. Tìm tham số để hai mặt phẳng song song

Cho (P): x + 2y + mz + 1 = 0 và (Q): 2x + ny + 6z + 3 = 0. Tìm m, n để (P) song song (Q).

Giải. Cần n = (1; 2; m) cùng phương n’ = (2; n; 6), tức 1/2 = 2/n = m/6. Suy ra n = 4 và m = 3. Kiểm tra hằng số: 1/2 ≠ 1/3? Ta so 1 với 3 theo tỉ lệ 1/2: 1/3 ≠ 1/2 nên không trùng. Vậy m = 3, n = 4.

Mở rộng: nếu hằng số của (Q) là 2 thay vì 3 thì 1/2 = 1/2, hai mặt phẳng sẽ trùng nhau với cùng m = 3, n = 4.

Ví dụ 3. Biện luận theo m

Cho (P): mx + y − z + 2 = 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0. Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng cắt nhau, song song?

Giải. n = (m; 1; −1), n’ = (1; −1; 1). Do 1/(−1) = −1 và (−1)/1 = −1 nên n, n’ cùng phương khi m/1 = −1, tức m = −1.

  • Nếu m ≠ −1: n, n’ không cùng phương, hai mặt phẳng cắt nhau.
  • Nếu m = −1: n = −n’. Khi đó (P): −x + y − z + 2 = 0, nhân với −1 được x − y + z − 2 = 0. So với (Q): x − y + z − 1 = 0 thì hằng số −2 ≠ −1, nên song song.

Không có giá trị m nào để hai mặt phẳng trùng nhau.

5. Hai mặt phẳng cắt nhau: các tình huống đi kèm

Khi hai mặt phẳng cắt nhau, đề thường hỏi thêm một trong hai ý sau.

  • Vuông góc: (P) ⊥ (Q) khi n · n’ = 0, tức AA’ + BB’ + CC’ = 0.
  • Góc giữa hai mặt phẳng: cos φ = |n · n’| / (|n| · |n’|), với 0° ≤ φ ≤ 90°.

Với hai mặt phẳng song song, một bài quen thuộc là tính khoảng cách. Đưa hai phương trình về cùng vectơ pháp tuyến rồi dùng d = |D − D’| / √(A² + B² + C²).

Ví dụ. Ở câu c) của Ví dụ 1, chia (Q) cho 3 được x − 3y + 2z + 5/3 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là d = |−1 − 5/3| / √(1 + 9 + 4) = (8/3)/√14 = 8/(3√14).

6. Hai điểm nằm cùng phía hay khác phía một mặt phẳng

Đặt f(M) = AxM + ByM + CzM + D. Với hai điểm M, N không nằm trên (P):

  • f(M) · f(N) > 0: M, N cùng phía đối với (P);
  • f(M) · f(N) < 0: M, N khác phía (nằm về hai phía) đối với (P).

Ví dụ. Cho (P): x + y + z − 4 = 0, A(1; 2; 3), B(0; 1; −2). Ta có f(A) = 1 + 2 + 3 − 4 = 2, f(B) = 0 + 1 − 2 − 4 = −5. Tích bằng −10 < 0 nên A, B nằm về hai phía của (P). Đây cũng là lý do đoạn AB chắc chắn cắt (P).

Lưu ý: nhiều tài liệu chép nhầm dấu “> 0” cho trường hợp hai phía. Em hãy thử với hai điểm cụ thể như trên để nhớ đúng: khác phía thì hai giá trị trái dấu.

7. Bài luyện tập tự giải

  1. Xét vị trí tương đối của (P): 2x − 4y + 6z − 8 = 0 và (Q): −x + 2y − 3z + 4 = 0.
  2. Cho (P): 2x + my + 3z − 5 = 0 và (Q): 4x + 6y + 6z + 1 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng song song. Với m nào thì chúng cắt nhau?
  3. Cho (P): 2x − y + z − 5 = 0, M(1; 0; 1), N(2; −1; 3). M, N nằm cùng phía hay khác phía đối với (P)?

Đáp án

  1. (2; −4; 6; −8) = −2·(−1; 2; −3; 4) nên hai mặt phẳng trùng nhau.
  2. Pháp tuyến cùng phương khi 2/4 = m/6 = 3/6, suy ra m = 3. Hằng số: −5 so với 1·(1/2) = 1/2, không bằng nhau nên song song. Vậy m = 3 thì song song; m ≠ 3 thì cắt nhau.
  3. f(M) = 2 − 0 + 1 − 5 = −2; f(N) = 4 + 1 + 3 − 5 = 3. Tích bằng −6 < 0 nên M, N khác phía.

8. Học tiếp

Sau phần này, em nên chuyển sang vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, rồi các bài về góc và khoảng cách trong Oxyz.

  • Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
  • Khoảng cách trong hệ tọa độ Oxyz
  • Ứng dụng phương pháp tọa độ trong các hình không gian
  • Hệ tọa độ trong không gian: lý thuyết và bài tập
  • 236 bài tập trắc nghiệm hình học Oxyz lớp 12

Câu hỏi thường gặp

Làm sao nhận biết nhanh hai mặt phẳng song song hay trùng nhau?

Trước hết kiểm tra hai vectơ pháp tuyến có cùng phương không. Nếu có, so tiếp hệ số tự do: cùng tỉ lệ với các hệ số còn lại thì trùng nhau, khác tỉ lệ thì song song.

Khi một mặt phẳng thiếu biến (hệ số bằng 0) thì xét thế nào?

Không viết tỉ số có mẫu bằng 0. Hãy tìm số k sao cho (A; B; C) = k·(A'; B'; C'), hoặc tính tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến rồi so sánh với vectơ không.

Hai mặt phẳng cắt nhau thì giao tuyến là gì?

Giao tuyến là một đường thẳng gồm các điểm thoả mãn đồng thời hai phương trình mặt phẳng. Vectơ chỉ phương của nó có thể lấy bằng tích có hướng [n, n'].

Hai điểm nằm khác phía một mặt phẳng khi nào?

Khi giá trị f(M) = Ax + By + Cz + D tại hai điểm trái dấu, tức f(M)·f(N) < 0. Nếu tích dương thì hai điểm cùng phía.

Bài học liên quan