Chọn mệnh đề đúng ln(a/b) = ln a − ln b

Trả lời nhanh

Mệnh đề đúng là ln(a/b) = ln a − ln b với mọi a > 0, b > 0. Lý do: logarit biến phép chia thành phép trừ, vì e^{ln a − ln b} = e^{ln a} : e^{ln b} = a/b. Các dạng như ln a / ln b hay ln(a − b) = ln a − ln b đều sai.

Đề bài thường gặp và cách đọc đề

Dạng câu hỏi này cho bốn mệnh đề chứa ln(ab), ln(a/b), ln a, ln b, ln(a − b)… rồi yêu cầu chọn mệnh đề đúng. Điều kiện ngầm là a, b là các số thực dương. Nếu đề nêu rõ điều kiện này thì chỉ cần so sánh từng vế với quy tắc logarit.

Bạn cần nhớ ba quy tắc nền tảng của logarit tự nhiên (a, b > 0):

ln(ab) = ln a + ln b (tích → tổng)
ln(a/b) = ln a − ln b (thương → hiệu)
ln(aⁿ) = n·ln a (luỹ thừa → nhân)

Vì sao ln(a/b) = ln a − ln b?

Đặt x = ln a và y = ln b, tức là a = e^x và b = e^y. Khi đó a/b = e^x/e^y = e^{x − y}. Lấy ln hai vế: ln(a/b) = x − y = ln a − ln b.

Mẹo nhớ: “Chia thì trừ, nhân thì cộng”. Logarit giảm một bậc phép toán: nhân thành cộng, chia thành trừ, luỹ thừa thành nhân.

Loại trừ các mệnh đề sai hay xuất hiện

Để thấy rõ, ta thử với a = e³ và b = e (khi đó ln a = 3, ln b = 1):

Mệnh đề	Kiểm tra với a = e³, b = e	Kết luận
ln(a/b) = ln a − ln b	ln(e²) = 2 và 3 − 1 = 2	Đúng
ln(a/b) = ln a / ln b	2 ≠ 3/1 = 3	Sai
ln(a/b) = ln b − ln a	2 ≠ 1 − 3 = −2	Sai (đảo dấu)
ln(a/b) = ln(a − b)/ln b…	Không có quy tắc nào như vậy	Sai

Với phép nhân, ví dụ a = e², b = e³: ln(ab) = 5 = ln a + ln b, còn ln a · ln b = 6. Vì vậy ln(ab) = ln a · ln b là sai.

Lỗi sai thường gặp

Nhầm “hiệu của ln” với “ln của hiệu”: ln a − ln b = ln(a/b), chứ không phải ln(a − b). Logarit không có công thức cho tổng hoặc hiệu bên trong.
Nhầm với đổi cơ số: ln a / ln b = log_b a, một đại lượng khác hẳn ln(a/b).
Quên điều kiện: công thức chỉ dùng khi a > 0, b > 0. Ví dụ ln((−2)(−3)) có nghĩa nhưng ln(−2) và ln(−3) thì không.
Đảo dấu: ln(a/b) = −ln(b/a), nên thứ tự a, b trong hiệu rất quan trọng.

Bài luyện tập

Tính ln(e⁵/e²).
Đáp án: ln e⁵ − ln e² = 5 − 2 = 3.
Rút gọn ln 12 − ln 3.
Đáp án: ln(12/3) = ln 4 = 2 ln 2.
Cho ln 2 = m, ln 3 = n. Biểu diễn ln(2/3) và ln 18 theo m, n.
Đáp án: ln(2/3) = m − n; ln 18 = ln(2·3²) = m + 2n.

Tóm lại

Gặp câu hỏi chọn mệnh đề đúng, hãy tìm phương án có dạng ln(a/b) = ln a − ln b (a, b > 0). Nếu phân vân, thay a, b bằng luỹ thừa của e để thử nhanh, cách này chỉ mất khoảng 20 giây.

Câu hỏi thường gặp

ln(a/b) có bằng ln a / ln b không?

Không. ln(a/b) = ln a − ln b, còn ln a / ln b = log_b a là đại lượng khác. Thử a = e³, b = e: ln(a/b) = 2 nhưng ln a / ln b = 3.

Công thức ln a − ln b = ln(a/b) cần điều kiện gì?

Cần a > 0 và b > 0 để cả ln a và ln b có nghĩa. Nếu chỉ biết a/b > 0 thì phải dùng dạng ln|a| − ln|b|.

ln a − ln b có bằng ln(a − b) không?

Không. Logarit không có quy tắc cho hiệu bên trong. Ví dụ ln 4 − ln 2 = ln 2 ≈ 0,693 nhưng ln(4 − 2) = ln 2 chỉ trùng ngẫu nhiên; với ln 6 − ln 3 = ln 2 còn ln(6 − 3) = ln 3 thì khác.