Trả lời nhanh
∫ ln x dx = x ln x − x + C (với x > 0). Ta đặt u = ln x, dv = dx rồi dùng công thức nguyên hàm từng phần. Có thể kiểm tra nhanh: đạo hàm của x ln x − x là ln x + 1 − 1 = ln x, đúng bằng hàm dưới dấu tích phân.
Vì sao phải dùng nguyên hàm từng phần?
Bảng nguyên hàm cơ bản có ∫ dx/x = ln|x| + C, nhưng không có dòng nào cho ln x. Hàm ln x cũng không phải dạng hợp đơn giản để đổi biến. Vì vậy ta dùng công thức:
∫ u dv = uv − ∫ v du
Điểm mấu chốt: đạo hàm của ln x là 1/x, một hàm “đơn giản hơn”. Khi đạo hàm hóa ln x, phần còn lại trong tích phân sẽ gọn đi rất nhiều.
Giải chi tiết ∫ ln x dx
Điều kiện: x > 0 (vì ln x chỉ xác định khi x dương).
- Đặt u = ln x ⇒ du = (1/x) dx.
- Đặt dv = dx ⇒ v = x.
- Áp dụng công thức: ∫ ln x dx = x ln x − ∫ x · (1/x) dx.
- Rút gọn: x · (1/x) = 1, nên ∫ 1 dx = x.
- Kết quả: ∫ ln x dx = x ln x − x + C.
Kiểm tra lại bằng đạo hàm
Muốn chắc đáp án, hãy lấy đạo hàm vế phải:
(x ln x − x + C)′ = (x)′·ln x + x·(1/x) − 1 = ln x + 1 − 1 = ln x. ✓
Thói quen này mất 10 giây và giúp loại ngay các đáp án sai khi làm trắc nghiệm.
Loại trừ các đáp án hay bị chọn nhầm
| Đáp án sai | Đạo hàm của nó | Nhận xét |
|---|---|---|
| x ln x + C | ln x + 1 | Thừa 1, thiếu số hạng −x |
| x ln x + x + C | ln x + 2 | Nhầm dấu của x |
| 1/x + C | −1/x² | Nhầm nguyên hàm với đạo hàm của ln x |
| (ln x)²/2 + C | (ln x)/x | Đây là nguyên hàm của (ln x)/x |
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm với đạo hàm: (ln x)′ = 1/x, còn nguyên hàm của ln x thì không phải 1/x.
- Quên dấu trừ: sau khi tính ∫ 1 dx = x, phải giữ dấu “−” phía trước.
- Chọn u sai: nếu đặt u = 1, dv = ln x dx thì không tìm được v. Với ln, luôn chọn u = ln.
- Bỏ điều kiện x > 0: đừng viết ln|x| trong đáp án này, vì ta đang xét ln x.
Mẹo nhớ
Nhớ câu “ln x nhân x, trừ đi x”: ∫ ln x dx = x(ln x − 1) + C. Dạng thu gọn này cũng rất tiện khi tính tích phân cận.
Mở rộng các dạng liên quan
1. ∫ x ln x dx
Đặt u = ln x, dv = x dx ⇒ du = dx/x, v = x²/2.
∫ x ln x dx = (x²/2) ln x − ∫ (x/2) dx = (x²/2) ln x − x²/4 + C.
2. ∫ ln(2x + 1) dx
Đặt u = ln(2x + 1), dv = dx ⇒ du = 2/(2x + 1) dx, v = x.
∫ = x ln(2x + 1) − ∫ 2x/(2x + 1) dx = x ln(2x + 1) − ∫ [1 − 1/(2x + 1)] dx = x ln(2x + 1) − x + ½ ln(2x + 1) + C.
Gọn hơn: ((2x + 1)/2) · ln(2x + 1) − x + C.
3. Tích phân xác định ∫1e ln x dx
Dùng nguyên hàm vừa tìm: [x ln x − x] từ 1 đến e = (e·1 − e) − (1·0 − 1) = 0 + 1 = 1.
Bài luyện tập
- Tính ∫ ln(3x) dx với x > 0.
Đáp án: x ln(3x) − x + C. Kiểm tra: đạo hàm = ln(3x) + x·(1/x) − 1 = ln(3x). - Tính ∫1e² ln x dx.
Đáp án: [x ln x − x] = (e²·2 − e²) − (0 − 1) = e² + 1. - Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = ln x thỏa F(1) = 3.
Đáp án: F(x) = x ln x − x + C, F(1) = −1 + C = 3 ⇒ C = 4. Vậy F(x) = x ln x − x + 4.
Tóm tắt
Gặp ln x (hoặc ln của biểu thức bậc nhất) đứng một mình, hãy đặt u = ln, dv = dx. Sau một lần lấy nguyên hàm từng phần, tích phân còn lại là hàm hằng hoặc phân thức đơn giản. Luôn kiểm tra bằng đạo hàm để tránh sai dấu.
Câu hỏi thường gặp
Nguyên hàm của ln x là gì?
Nguyên hàm của ln x là x ln x − x + C, với x > 0 và C là hằng số tùy ý. Kết quả được suy ra bằng nguyên hàm từng phần với u = ln x, dv = dx.
Nguyên hàm của ln x có bằng 1/x không?
Không. 1/x là đạo hàm của ln x. Ngược lại, nguyên hàm của 1/x mới là ln|x| + C, còn nguyên hàm của ln x là x ln x − x + C.
Cách kiểm tra nhanh nguyên hàm của ln x đúng hay sai?
Lấy đạo hàm kết quả. (x ln x − x)′ = ln x + 1 − 1 = ln x, trùng với hàm ban đầu nên đáp án đúng.
Nguyên hàm của ln(ax + b) tính thế nào?
Dùng cùng cách: đặt u = ln(ax + b), dv = dx. Kết quả là ((ax + b)/a)·ln(ax + b) − x + C, với ax + b > 0 và a khác 0.