Trả lời nhanh
Với a – b = 4 và ab = 3 thì a³ – b³ = 100. Ta dùng hằng đẳng thức (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b), suy ra a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b) = 4³ + 3·3·4 = 64 + 36 = 100. Cách này không cần tìm riêng a và b.
Đề bài
Cho hai số a, b thoả mãn a – b = 4 và ab = 3. Tính giá trị của biểu thức a³ – b³.
Đề cho hiệu và tích của hai số, còn biểu thức cần tính là hiệu hai lập phương. Đây là dấu hiệu quen thuộc: hãy nghĩ ngay đến hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.
Cách 1: Dùng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
Ta có hằng đẳng thức:
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)
Chuyển vế để tách a³ – b³:
a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)
Thay a – b = 4 và ab = 3:
- (a – b)³ = 4³ = 64
- 3ab(a – b) = 3 · 3 · 4 = 36
Vậy a³ – b³ = 64 + 36 = 100.
Cách 2: Dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương
Ta có a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²). Vấn đề là cần a² + b². Từ (a – b)² = a² – 2ab + b² suy ra:
a² + b² = (a – b)² + 2ab = 4² + 2·3 = 16 + 6 = 22
Do đó a² + ab + b² = 22 + 3 = 25, và
a³ – b³ = 4 · 25 = 100.
Hai cách cho cùng kết quả nên ta yên tâm về đáp số.
Kiểm tra lại bằng số cụ thể
Từ a – b = 4 ta có a = b + 4. Thay vào ab = 3: b(b + 4) = 3, tức b² + 4b – 3 = 0. Giải ra b = -2 + √7 hoặc b = -2 – √7, tương ứng a = 2 + √7 hoặc a = 2 – √7.
Lấy a = 2 + √7 và b = -2 + √7. Khi đó:
- a – b = 4 và ab = (√7 + 2)(√7 – 2) = 7 – 4 = 3 (đúng giả thiết).
- a² = 11 + 4√7 và b² = 11 – 4√7. Do đó a² + ab + b² = 22 + 3 = 25.
- a³ – b³ = 4 · 25 = 100.
Với cặp còn lại (đổi dấu √7) ta cũng thu được 100. Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc cách chọn a, b.
Vì sao không nên đi tìm a và b?
Hệ a – b = 4, ab = 3 dẫn tới phương trình có nghiệm vô tỉ, nên tính a³ và b³ rồi trừ nhau sẽ rất dài và dễ sai. Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa a – b và ab là cách ngắn gọn nhất. Đây là kĩ thuật thường gặp: biểu thức đối xứng hoặc gần đối xứng đều có thể viết qua tổng/hiệu và tích.
Mẹo nhớ
| Biết | Cần tính | Công thức |
|---|---|---|
| a – b, ab | a³ – b³ | (a – b)³ + 3ab(a – b) |
| a + b, ab | a³ + b³ | (a + b)³ – 3ab(a + b) |
| a – b, ab | a² + b² | (a – b)² + 2ab |
Mẹo: dấu của số hạng 3ab(…) luôn ngược với dấu trong hằng đẳng thức gốc khi chuyển vế. Ở hiệu thì ta cộng, ở tổng thì ta trừ.
Lỗi sai thường gặp
- Viết a³ – b³ = (a – b)³ = 64. Sai vì (a – b)³ còn thiếu số hạng 3ab(a – b).
- Nhầm dấu: tính 64 – 36 = 28. Phải chuyển vế đúng thành cộng.
- Viết a³ – b³ = (a – b)(a² – ab + b²). Đó là công thức của a³ + b³; với hiệu, dấu giữa là +ab.
Bài luyện tập
- Cho a – b = 2 và ab = 5. Tính a³ – b³.
Đáp án: 2³ + 3·5·2 = 8 + 30 = 38. - Cho a – b = 3 và ab = -1. Tính a³ – b³.
Đáp án: 27 + 3·(-1)·3 = 27 – 9 = 18. - Cho a – b = 2 và a³ – b³ = 56. Tính ab.
Đáp án: 56 = 8 + 3·ab·2 = 8 + 6ab, suy ra ab = 8.
Kết luận
Khi đề cho a – b và ab, hãy viết a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b). Với a – b = 4 và ab = 3, ta được a³ – b³ = 100.
Câu hỏi thường gặp
Cho a - b = 4 và ab = 3 thì a³ - b³ bằng bao nhiêu?
a³ - b³ = 100. Dùng a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) = 64 + 36 = 100.
Công thức tính a³ - b³ theo a - b và ab là gì?
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b). Công thức này suy ra từ hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.
Có cần tìm a và b trước khi tính không?
Không cần. Nghiệm của hệ là số vô tỉ (a = 2 ± √7), nên biến đổi biểu thức về a - b và ab sẽ nhanh và ít sai hơn.
Kết quả có thay đổi nếu chọn cặp (a, b) khác không?
Không. Cả hai cặp nghiệm của hệ đều cho a³ - b³ = 100, vì biểu thức chỉ phụ thuộc vào a - b và ab.