Trả lời nhanh
Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất. Ngoài ra còn ba cách khác: ba điểm không thẳng hàng; một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó; hai đường thẳng song song. Các trường hợp ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng chéo nhau hoặc hai đường thẳng trùng nhau thì không xác định duy nhất một mặt phẳng.
Bốn cách xác định một mặt phẳng
- Ba điểm không thẳng hàng. Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng, kí hiệu (ABC).
- Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó. Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d thì có duy nhất mặt phẳng chứa cả hai.
- Hai đường thẳng cắt nhau. Hai đường a, b cắt nhau tại O xác định duy nhất một mặt phẳng, kí hiệu (a, b).
- Hai đường thẳng song song. Hai đường thẳng a // b cùng nằm trong đúng một mặt phẳng.
Vì sao ba cách còn lại đều đưa về “ba điểm không thẳng hàng”?
Tiên đề gốc của hình học không gian nói rằng qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng. Từ đó em suy ra những cách còn lại.
- Điểm A và đường thẳng d (A không thuộc d): lấy hai điểm phân biệt B, C trên d. Khi đó A, B, C không thẳng hàng, nên mặt phẳng (ABC) là duy nhất. Mặt phẳng này chứa B, C nên chứa cả đường thẳng d.
- Hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O: lấy M thuộc a và N thuộc b, đều khác O. Ba điểm O, M, N không thẳng hàng, nên xác định mặt phẳng (OMN) chứa cả a và b.
- Hai đường thẳng song song a // b: theo định nghĩa, chúng cùng nằm trong một mặt phẳng. Lấy hai điểm trên a và một điểm trên b ta lại có ba điểm không thẳng hàng, nên mặt phẳng là duy nhất.
Những trường hợp KHÔNG xác định duy nhất một mặt phẳng
| Yếu tố cho trước | Kết luận | Lí do |
|---|---|---|
| Ba điểm thẳng hàng | Vô số mặt phẳng | Mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đó đều chứa cả ba điểm |
| Một điểm và một đường thẳng chứa điểm đó | Vô số mặt phẳng | Điểm nằm trên đường thẳng, nên chỉ còn lại “một đường” |
| Hai đường thẳng chéo nhau | Không có mặt phẳng nào | Hai đường chéo nhau không đồng phẳng |
| Hai đường thẳng trùng nhau | Vô số mặt phẳng | Thực chất chỉ là một đường thẳng |
| Hai điểm phân biệt | Vô số mặt phẳng | Mọi mặt phẳng chứa đường thẳng nối hai điểm đều chứa chúng |
Cách loại trừ trong câu trắc nghiệm
Đề thường đưa bốn phương án, trong đó có một hoặc nhiều phương án đúng và một số phương án “thiếu điều kiện”. Em đọc kĩ từng điều kiện nhỏ:
- Phương án nói “ba điểm phân biệt” mà không có từ “không thẳng hàng”: chưa đủ, nên không chọn.
- Phương án nói “một điểm và một đường thẳng” mà thiếu “điểm không thuộc đường thẳng”: chưa đủ.
- Phương án nói “hai đường thẳng” mà không nói cắt nhau hay song song: chưa đủ. Nếu nói “hai đường thẳng chéo nhau” thì sai hẳn.
- Phương án có “hai đường thẳng cắt nhau” hoặc “hai đường thẳng song song”: đúng.
Mẹo nhớ
Em hình dung một mặt bàn: ba chân bàn đặt trên mặt đất luôn chạm đất đồng thời (ba điểm không thẳng hàng), còn bàn bốn chân dễ bị cập kênh. Vì vậy ba điểm không thẳng hàng cho đúng một mặt phẳng, còn thêm điểm thứ tư thì chưa chắc đồng phẳng. Hai đường cắt nhau hay song song thì giống như hai cạnh liền kề hoặc hai cạnh đối của một tờ giấy, chúng cùng nằm trên tờ giấy đó.
Lỗi sai thường gặp
- Đồng nhất “không có điểm chung” với “song song”. Trong không gian, hai đường không có điểm chung vẫn có thể là chéo nhau.
- Quên điều kiện không thẳng hàng, nên chọn nhầm “ba điểm phân biệt”.
- Cho rằng bốn điểm luôn nằm trong một mặt phẳng. Chỉ khi chúng đồng phẳng mới đúng.
Luyện tập
- Cho tứ diện ABCD và M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (MCD) được xác định bởi những yếu tố nào? Đáp án: ba điểm M, C, D không thẳng hàng (vì M không nằm trên CD).
- Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng thì xác định được bao nhiêu mặt phẳng, mỗi mặt đi qua ba trong bốn điểm? Đáp án: bốn mặt phẳng: (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
- Cho 5 điểm trong không gian, không có bốn điểm nào đồng phẳng. Hỏi có tối đa bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong năm điểm? Đáp án: cách chọn 3 điểm từ 5 là 10, nên có 10 mặt phẳng.
- Hai đường thẳng a và b không có điểm chung có chắc chắn nằm trong cùng một mặt phẳng không? Đáp án: không chắc, vì chúng có thể chéo nhau.
Câu hỏi thường gặp
Hai đường thẳng chéo nhau có xác định một mặt phẳng không?
Không. Hai đường thẳng chéo nhau không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào, nên không có mặt phẳng nào chứa cả hai.
Ba điểm phân biệt có xác định duy nhất một mặt phẳng không?
Chỉ khi ba điểm đó không thẳng hàng. Nếu chúng thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa cả ba.
Vì sao một điểm và một đường thẳng cần điều kiện điểm không thuộc đường thẳng?
Nếu điểm nằm trên đường thẳng thì chỉ còn một đường thẳng, và có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng đó.