Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b: bộ luyện y = 2x + 1
Lớp 9Toán

Giải Toán 9 Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Trả lời nhanh

Với đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0), số a gọi là hệ số góc. Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox thì tan α’ = |a| với α’ là góc nhọn tương ứng. Nếu a > 0 thì α nhọn, a càng lớn góc càng lớn. Nếu a < 0 thì α tù và α = 180° − α'. Hai đường thẳng có cùng a thì song song hoặc trùng nhau.

Tóm tắt kiến thức cần nhớ

  • Góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox là góc α do tia Ax (A là giao điểm với Ox, tia Ax nằm phía trên Ox) và đường thẳng tạo nên.
  • a > 0: α là góc nhọn, a càng lớn thì α càng lớn (α < 90°).
  • a < 0: α là góc tù, a càng lớn (càng gần 0) thì α càng lớn (α < 180°).
  • Hệ số góc: a gọi là hệ số góc vì nó quyết định độ nghiêng của đường thẳng so với Ox.
  • Hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ (a, a’ ≠ 0): song song khi a = a’, b ≠ b’; trùng nhau khi a = a’, b = b’; cắt nhau khi a ≠ a’.

Muốn xem lại phần lý thuyết đầy đủ, mời em đọc bài lý thuyết tại Lý thuyết hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.

Trả lời câu hỏi giữa bài (trang 56)

Trường hợp a > 0 (y = 0,5x + 2; y = x + 2; y = 2x + 2): các góc thoả α1 < α2 < α3 ứng với 0,5 < 1 < 2. Kết luận: a dương thì góc nhọn, a càng lớn đường thẳng càng “dốc”.

Trường hợp a < 0 (y = −2x + 2; y = −x + 2; y = −0,5x + 2): các góc β1 < β2 < β3 ứng với −2 < −1 < −0,5. Kết luận: a âm thì góc tù, a càng lớn (gần 0) thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180°.

Chú ý: đề câu b trong sách ghi nhầm “a > 0” nhưng ý là trường hợp a < 0.

Giải bài tập SGK trang 58, 59

Bài 27 (trang 58): cho hàm số y = ax + 3

a) Đồ thị đi qua A(2; 6) nên 6 = 2a + 3, suy ra 2a = 3, a = 3/2.

b) Hàm số là y = (3/2)x + 3. Cho x = 0 thì y = 3, ta có điểm (0; 3). Cho y = 0 thì (3/2)x = −3, x = −2, ta có điểm B(−2; 0). Đồ thị là đường thẳng đi qua (0; 3) và (−2; 0); điểm A(2; 6) cũng nằm trên đường thẳng đó (kiểm tra: (3/2)·2 + 3 = 6).

Chi tiết hơn xem tại Bài 27 trang 58.

Bài 28 (trang 58): cho hàm số y = −2x + 3

a) Cho x = 0 thì y = 3: điểm A(0; 3). Cho y = 0 thì x = 3/2: điểm B(3/2; 0). Nối A với B ta được đồ thị.

Đồ thị y = -2x + 3 cắt trục tung tại A(0;3), cắt trục hoành tại B(3/2;0) và góc alpha tù tạo với trục Ox
Đồ thị hàm số y = −2x + 3 và góc α ≈ 116°34′ tạo với trục Ox.

b) Trong tam giác vuông OAB: tan ∠OBA = OA/OB = 3 : 3/2 = 2, nên ∠OBA ≈ 63°26′. Góc α tạo bởi đường thẳng và trục Ox là góc kề bù với ∠OBA:

α = 180° − 63°26′ = 116°34′.

Mẹo: với a < 0, em tính góc nhọn từ tan = |a| rồi lấy 180° trừ đi. Đừng bấm tan−1(−2) rồi ghi luôn kết quả âm (máy cho −63°26′).

Xem thêm Bài 28 trang 58.

Bài 29 (trang 59): xác định hàm số bậc nhất y = ax + b

a) a = 2 và đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1,5, tức đi qua (1,5; 0): 0 = 2·1,5 + b nên b = −3. Hàm số: y = 2x − 3.

b) a = 3 và đồ thị đi qua A(2; 2): 2 = 3·2 + b nên b = −4. Hàm số: y = 3x − 4.

c) Đồ thị song song với y = √3·x nên a = √3 (và b ≠ 0). Đi qua B(1; √3 + 5): √3 + 5 = √3·1 + b nên b = 5 (thoả b ≠ 0). Hàm số: y = √3·x + 5.

Lời giải tham khảo khác: Bài 29 trang 59.

Bài 30 (trang 59): đồ thị y = ½x + 2 và y = −x + 2

a) Đường y = ½x + 2 đi qua (0; 2) và A(−4; 0). Đường y = −x + 2 đi qua (0; 2) và B(2; 0). Hai đường cắt nhau tại C(0; 2) trên trục tung.

b) Tam giác ABC có OA = 4, OB = 2, OC = 2.

  • tan A = OC/OA = 2/4 = 0,5 nên ∠A ≈ 26°34′.
  • tan B = OC/OB = 1 nên ∠B = 45°.
  • ∠C = 180° − 26°34′ − 45° = 108°26′.

Nếu đề yêu cầu thêm chu vi, diện tích (đơn vị trên trục là cm): AB = 6; AC = √(4² + 2²) = 2√5 ≈ 4,47; BC = √(2² + 2²) = 2√2 ≈ 2,83. Chu vi ≈ 6 + 4,47 + 2,83 ≈ 13,30 cm; diện tích = ½·AB·OC = ½·6·2 = 6 cm².

Em đối chiếu tại Bài 30 trang 59 và Bài 31 trang 59.

Lỗi sai thường gặp

  • Quên đổi sang góc kề bù khi a < 0, dẫn đến ghi góc nhọn thay vì góc tù.
  • Nhầm “hệ số góc” với hệ số b (tung độ gốc).
  • Khi tìm hàm số song song với đường cho trước, quên kiểm tra điều kiện b ≠ b’.
  • Máy tính để chế độ radian thay vì độ (DEG) nên ra kết quả lạ.

Bài luyện tập có đáp án

  1. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = √3·x − 1 với trục Ox.
    Đáp án: tan α = √3 nên α = 60°.
  2. Xác định hệ số góc của đường thẳng đi qua M(1; 2) và N(3; 8).
    Đáp án: a = (8 − 2)/(3 − 1) = 3; đường thẳng là y = 3x − 1.
  3. Tìm m để đường thẳng y = (m − 1)x + 2 tạo với trục Ox một góc tù.
    Đáp án: cần m − 1 < 0, tức m < 1.

Luyện thêm: 31 câu trắc nghiệm hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.

Câu hỏi thường gặp

Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b là gì?

Là số a (a ≠ 0). Nó quyết định độ nghiêng của đường thẳng so với trục Ox: a dương thì góc tạo với Ox nhọn, a âm thì góc tù.

Cách tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox?

Tính góc nhọn α' từ tan α' = |a|. Nếu a > 0 thì góc cần tìm là α'. Nếu a < 0 thì góc cần tìm là 180° − α'.

Khi nào hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b' song song?

Khi a = a' và b ≠ b'. Nếu a = a' và b = b' thì hai đường thẳng trùng nhau, còn a ≠ a' thì chúng cắt nhau.

Vì sao với a < 0 lại phải lấy 180° trừ đi?

Vì tam giác vuông chỉ cho ta góc nhọn nằm về phía âm của trục Ox. Góc α cần tìm kề bù với góc nhọn ấy nên α = 180° trừ góc nhọn.

Bài học liên quan