Trả lời nhanh
Định lý Ta-lét trong tam giác: nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Với MN // BC (M thuộc AB, N thuộc AC) ta có AM/MB = AN/NC và AM/AB = AN/AC. Định lí đảo cho phép chứng minh hai đường thẳng song song.
1. Nhắc lại: tỉ số của hai đoạn thẳng
Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD là thương độ dài của chúng, tính cùng một đơn vị đo, kí hiệu AB/CD. Tỉ số này không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn.
Ví dụ: AB = 1,2 m và CD = 30 cm. Đổi AB = 120 cm, khi đó AB/CD = 120/30 = 4. Nếu quên đổi đơn vị và viết 1,2/30 = 0,04 thì kết quả sai hoàn toàn.
Đoạn thẳng tỉ lệ
Hai đoạn thẳng AB, CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’, C’D’ nếu AB/CD = A’B’/C’D’. Đẳng thức này có thể viết lại thành AB/A’B’ = CD/C’D’ (đổi chỗ hai trung tỉ) – đây là tính chất của tỉ lệ thức mà ta dùng rất nhiều ở phần sau.
2. Định lí Ta-lét (định lí thuận)
Nội dung: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Giả thiết – kết luận: Tam giác ABC, M thuộc AB, N thuộc AC, MN // BC. Khi đó:
- AM/MB = AN/NC (đoạn trên cùng một cạnh so với đoạn còn lại);
- AM/AB = AN/AC (đoạn nhỏ so với cả cạnh);
- MB/AB = NC/AC (phần còn lại so với cả cạnh).
Vì sao ba tỉ lệ thức trên cùng đúng? Từ AM/MB = AN/NC, cộng 1 vào hai vế: (AM + MB)/MB = (AN + NC)/NC, tức AB/MB = AC/NC. Lật hai vế được MB/AB = NC/AC. Các tỉ lệ thức còn lại suy ra tương tự, nên em chỉ cần nhớ một cái rồi biến đổi, không cần học thuộc từng cái.
Mẹo nhớ
Quy tắc “cùng phía – cùng mẫu”: ở mỗi vế, các đoạn nằm trên cùng một cạnh với nhau, và hai vế phải cùng loại (đoạn trên so đoạn dưới, hoặc đoạn trên so cả cạnh). Em hãy luôn đặt đỉnh A (giao của hai cạnh bị cắt) làm “điểm xuất phát” của các đoạn.
3. Định lí Ta-lét đảo
Nội dung: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Nói gọn: tam giác ABC có M thuộc AB, N thuộc AC mà AM/MB = AN/NC (hoặc AM/AB = AN/AC) thì MN // BC.
Định lí thuận dùng để tính độ dài; định lí đảo dùng để chứng minh song song. Đây là điểm các em hay nhầm khi đọc đề.
4. Hệ quả của định lí Ta-lét
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho:
MN // BC ⇒ AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Hệ quả vẫn đúng khi đường thẳng song song cắt phần kéo dài của hai cạnh tam giác. Nhờ hệ quả, ta tính được cả độ dài đoạn MN song song với đáy – điều mà định lí Ta-lét ban đầu chưa nói đến.
5. Bảng tóm tắt khi nào dùng gì
| Đề bài cho | Cần tìm | Công cụ |
|---|---|---|
| Có đường song song với một cạnh | Độ dài đoạn trên cạnh bên | Định lí Ta-lét: AM/MB = AN/NC |
| Có đường song song với một cạnh | Độ dài đoạn song song với đáy | Hệ quả: AM/AB = MN/BC |
| Các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ | Chứng minh song song | Định lí Ta-lét đảo |
6. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1 – Tính đoạn trên cạnh bên
Tam giác ABC có MN // BC (M thuộc AB, N thuộc AC), AM = 6 cm, MB = 4 cm, AN = 9 cm. Tính NC.
Giải. Vì MN // BC nên AM/MB = AN/NC, hay 6/4 = 9/NC. Suy ra NC = 9 · 4 : 6 = 6 (cm).
Ví dụ 2 – Cho cả cạnh, tính đoạn nhỏ
Tam giác ABC có MN // BC, AM = 3 cm, AB = 7,5 cm, AC = 10 cm. Tính AN.
Giải. Theo định lí Ta-lét, AM/AB = AN/AC, hay 3/7,5 = AN/10. Suy ra AN = 3 · 10 : 7,5 = 4 (cm).
Ví dụ 3 – Dùng hệ quả
Tam giác ABC có MN // BC, AM = 2 cm, AB = 5 cm, BC = 10 cm. Tính MN.
Giải. Theo hệ quả, MN/BC = AM/AB = 2/5. Vậy MN = 10 · 2 : 5 = 4 (cm).
Ví dụ 4 – Chứng minh song song bằng định lí đảo
Tam giác ABC có M thuộc AB, N thuộc AC. Trường hợp (a): AM = 2, MB = 3, AN = 4, NC = 6. Trường hợp (b): AM = 2, MB = 3, AN = 3, NC = 4. Hỏi MN có song song với BC không?
Giải.
- (a) AM/MB = 2/3 và AN/NC = 4/6 = 2/3. Hai tỉ số bằng nhau nên MN // BC.
- (b) AM/MB = 2/3 còn AN/NC = 3/4. Vì 2/3 ≠ 3/4 nên MN không song song với BC.
Ví dụ 5 – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số
Cho AB = 15 cm. Điểm C nằm trên đoạn AB sao cho CA/CB = 2/3. Tính CA, CB.
Giải. Đặt CA = 2t, CB = 3t (t > 0). Vì C nằm giữa A và B nên CA + CB = AB, tức 5t = 15, t = 3. Vậy CA = 6 cm, CB = 9 cm.
7. Lỗi sai thường gặp
- Ghép sai đoạn: viết AM/MB = AN/AC. Vế trái là “đoạn nhỏ so đoạn còn lại”, vế phải lại là “đoạn nhỏ so cả cạnh” – sai loại. Hãy kiểm tra hai vế cùng dạng.
- Quên đổi đơn vị khi lập tỉ số các đoạn thẳng.
- Dùng định lí khi chưa có song song: định lí Ta-lét chỉ áp dụng khi đã biết (hoặc chứng minh được) MN // BC.
- Nhầm thuận – đảo: đề yêu cầu chứng minh song song thì phải đi từ tỉ lệ thức, không phải ngược lại.
- Tính nhầm “MB” với “AB”: MB = AB − AM, nên nếu đề cho AB thì cần trừ để có MB.
8. Bài tập tự luyện
- Tam giác ABC có MN // BC (M thuộc AB, N thuộc AC), AM = 4 cm, MB = 6 cm, AC = 15 cm. Tính AN và NC.
- Tam giác ABC có D thuộc AB, E thuộc AC, AD = 3 cm, DB = 5 cm, AE = 2,4 cm, EC = 4 cm. Chứng minh DE // BC.
- Tam giác ABC có MN // BC, AM = 5 cm, MB = 3 cm, BC = 12,8 cm. Tính MN.
- Cho AB = 6 cm. Điểm D nằm trên tia đối của tia AB… cụ thể: D thuộc đường thẳng AB, nằm ngoài đoạn AB về phía B sao cho DA/DB = 5/4. Tính DB và DA.
Đáp án gợi ý
- AM/MB = 4/6 = 2/3 nên AN/NC = 2/3, suy ra AN = 2/5 · 15 = 6 cm, NC = 15 − 6 = 9 cm.
- AD/DB = 3/5 = 0,6; AE/EC = 2,4/4 = 0,6. Hai tỉ số bằng nhau nên theo định lí Ta-lét đảo, DE // BC.
- AB = AM + MB = 8 cm. Theo hệ quả, MN/BC = AM/AB = 5/8, nên MN = 12,8 · 5 : 8 = 8 cm.
- Vì D nằm ngoài đoạn AB về phía B nên DA > DB và DA − DB = AB = 6. Đặt DA = 5t, DB = 4t thì 5t − 4t = 6, t = 6. Vậy DB = 24 cm, DA = 30 cm.
9. Tài liệu luyện thêm
- Định lý Ta-lét trong tam giác
- Các dạng bài tập về Định lí Ta-lét trong tam giác
- 34 câu trắc nghiệm Định lý Ta-lét, định lý đảo và hệ quả
- 50 bài tập Định lí Ta-lét trong tam giác có đáp án
- Giải SGK Toán 8 – Định lí Ta-lét trong tam giác
Câu hỏi thường gặp
Định lý Ta-lét trong tam giác phát biểu như thế nào?
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Chẳng hạn MN // BC thì AM/MB = AN/NC.
Khi nào dùng định lí Ta-lét đảo?
Dùng khi cần chứng minh hai đường thẳng song song. Nếu hai đoạn thẳng trên hai cạnh của tam giác tương ứng tỉ lệ, chẳng hạn AM/MB = AN/NC, thì MN song song với BC.
Hệ quả của định lí Ta-lét dùng để làm gì?
Hệ quả cho biết MN // BC thì AM/AB = AN/AC = MN/BC, nên ta tính được độ dài đoạn MN song song với cạnh đáy BC khi biết các đoạn còn lại.
Vì sao khi lập tỉ số hai đoạn thẳng phải cùng đơn vị đo?
Tỉ số hai đoạn thẳng là số thuần túy, không có đơn vị. Nếu hai độ dài khác đơn vị mà không quy đổi thì tỉ số tính ra sẽ sai, ví dụ 1,2 m và 30 cm có tỉ số 4 chứ không phải 0,04.