Tam giác ABC thoả mãn sin B / sin A = 2cos C: tam giác ABC là tam giác gì?

Tam giác ABC thoả mãn sin B / sin A = 2cos C là tam giác cân tại B (BA = BC). Lí do: theo định lí sin, sin B / sin A = b / a; theo định lí côsin, 2cos C = (a2 + b2 − c2) / (ab). Cho hai vế bằng nhau và rút gọn ta được a2 = c2, suy ra a = c. Điều kiện này không buộc tam giác phải nhọn, tù hay vuông.

Tam giác ABC thoả mãn sin B/sin A = 2cos C là tam giác gì

Trả lời nhanh

Tam giác ABC thoả mãn sin B / sin A = 2cos C là tam giác cân tại B (BA = BC). Lí do: theo định lí sin, sin B / sin A = b / a; theo định lí côsin, 2cos C = (a² + b² − c²) / (ab). Cho hai vế bằng nhau và rút gọn ta được a² = c², suy ra a = c. Điều kiện này không buộc tam giác phải nhọn, tù hay vuông.

Cách 1: dùng định lí sin và định lí côsin

Gọi a = BC, b = CA, c = AB và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Theo định lí sin: sin A = a / (2R) và sin B = b / (2R), nên sin B / sin A = b / a.
Theo định lí côsin: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), nên 2cos C = (a² + b² − c²) / (ab).
Từ giả thiết: b / a = (a² + b² − c²) / (ab).
Nhân hai vế với ab (a, b > 0): b² = a² + b² − c².
Rút gọn: a² = c². Vì a, c > 0 nên a = c.

Hai cạnh BC và AB bằng nhau, vậy tam giác ABC cân tại B.

Tam giác ABC cân tại B với BA = BC khi sin B / sin A = 2cos C — Hình 1. Điều kiện sin B / sin A = 2cos C cho a = c, tức tam giác ABC cân tại B.

Cách 2: biến đổi lượng giác thuần tuý

Từ sin B = 2sin A·cos C. Vì A + B + C = 180° nên sin B = sin(A + C) = sin A cos C + cos A sin C. Thay vào:

sin A cos C + cos A sin C = 2 sin A cos C
⟺ cos A sin C − sin A cos C = 0
⟺ sin(C − A) = 0.

Do 0° < A, C < 180° nên |C − A| < 180°, suy ra C − A = 0, tức A = C. Hai góc A và C bằng nhau nên tam giác cân tại B. Hai cách cho cùng một kết luận, em có thể chọn cách nào quen tay hơn.

Vì sao không chọn nhọn, tù hay vuông?

Điều kiện A = C chỉ nói hai góc ở đáy bằng nhau, không nói gì về góc B.

Nếu A = C = 50° thì B = 80°: tam giác nhọn.
Nếu A = C = 30° thì B = 120°: tam giác tù.
Nếu A = C = 45° thì B = 90°: tam giác vuông (vuông cân).

Cả ba trường hợp đều thoả mãn giả thiết, nên các kết luận “nhọn”, “tù”, “vuông” đều không đúng với mọi tam giác thoả đề. Kết luận luôn đúng là tam giác ABC cân.

Kiểm tra nhanh bằng số

Lấy A = C = 50° thì B = 80°. Khi đó sin 80° / sin 50° ≈ 0,9848 / 0,7660 ≈ 1,2856 và 2cos 50° ≈ 2 × 0,6428 ≈ 1,2856. Hai vế bằng nhau, đúng như tính toán. Cách thử một ví dụ cụ thể như vậy rất hữu ích để loại nhanh đáp án khi làm trắc nghiệm.

Lỗi sai thường gặp

Quên chia cho a, b dương rồi “triệt tiêu” sai: phải nhân hai vế với ab trước, không được bỏ dấu bình phương.
Từ a² = c² kết luận a = ±c. Cạnh là số dương nên chỉ nhận a = c.
Nhầm tam giác cân tại B với cân tại A hay C. Cạnh bằng nhau là BC và AB, hai cạnh này gặp nhau ở đỉnh B.

Luyện tập

Tam giác ABC có sin A = 2 sin B cos C. Chứng minh tam giác cân. Gợi ý: sin A = sin(B + C), rút gọn được sin(B − C) = 0, nên B = C.
Tam giác ABC có a = 2b cos C. Tam giác thuộc loại nào? Đáp án: cân tại A. Thay cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) vào được a² = a² + b² − c², suy ra b = c.
Tam giác ABC có b² + c² = a² thì có nhất thiết cân không? Không. Đó là tam giác vuông tại A, chỉ cân khi b = c.

Câu hỏi thường gặp

Tam giác ABC thoả mãn sin B / sin A = 2cos C là tam giác gì?

Đó là tam giác cân tại B, vì từ điều kiện suy ra BC = AB (hay hai góc A và C bằng nhau).

Tam giác này có thể là tam giác vuông không?

Có thể, khi góc B bằng 90° (tam giác vuông cân tại B), nhưng điều đó không bắt buộc nên không phải kết luận chung.

Dùng định lí nào để giải bài này?

Dùng định lí sin để đổi tỉ số sin B / sin A thành b / a và định lí côsin để biểu diễn cos C theo ba cạnh.

Có cách nào làm nhanh khi thi trắc nghiệm?

Thử một tam giác cân cụ thể (ví dụ A = C = 50°) để kiểm tra đẳng thức, sau đó loại các phương án không luôn đúng.