Thể tích hình lăng trụ đứng tam giác: công thức, ví dụ

Trả lời nhanh

Thể tích hình lăng trụ đứng tam giác bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: V = S_đáy · h, trong đó đáy là tam giác nên S_đáy = ½ · cạnh đáy tam giác · chiều cao tam giác. Diện tích xung quanh bằng chu vi đáy nhân chiều cao: S_xq = C_đáy · h. Hai công thức này dùng chung cho cả hình lăng trụ đứng tứ giác.

Hình lăng trụ đứng tam giác, tứ giác là gì?

Đây là nội dung Bài 2 trong chương Hình học trực quan, sách Toán 7 bộ Cánh Diều. Em hãy hình dung một thanh sô-cô-la có tiết diện hình tam giác hay chiếc lều cắm trại: hai đầu là hai tam giác giống hệt nhau, các mặt xung quanh là hình chữ nhật. Đó chính là hình lăng trụ đứng tam giác.

Hai mặt đáy là hai đa giác bằng nhau, nằm trong hai mặt phẳng song song. Đáy là tam giác thì gọi là lăng trụ đứng tam giác; đáy là tứ giác thì gọi là lăng trụ đứng tứ giác.
Các mặt bên đều là hình chữ nhật.
Các cạnh bên song song và bằng nhau, vuông góc với hai mặt đáy.
Chiều cao của lăng trụ đứng bằng độ dài một cạnh bên (khoảng cách giữa hai đáy).

Lưu ý: hình hộp chữ nhật và hình lập phương cũng là những hình lăng trụ đứng tứ giác đặc biệt (đáy là hình chữ nhật, hình vuông).

Bảng so sánh số mặt, đỉnh, cạnh

Yếu tố	Lăng trụ đứng tam giác	Lăng trụ đứng tứ giác
Số mặt đáy	2 (tam giác)	2 (tứ giác)
Số mặt bên	3 hình chữ nhật	4 hình chữ nhật
Tổng số mặt	5	6
Số đỉnh	6	8
Số cạnh	9 (6 cạnh đáy + 3 cạnh bên)	12 (8 cạnh đáy + 4 cạnh bên)

Mẹo nhớ: nếu đáy là đa giác n cạnh thì lăng trụ đứng có n mặt bên, n + 2 mặt, 2n đỉnh và 3n cạnh. Với n = 3 ta được 5 mặt, 6 đỉnh, 9 cạnh; với n = 4 ta được 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.

Công thức diện tích xung quanh và thể tích

Đại lượng	Công thức	Ghi chú
Diện tích xung quanh	S_xq = C · h	C: chu vi đáy; h: chiều cao lăng trụ
Diện tích toàn phần	S_tp = S_xq + 2 · S_đáy	Cộng thêm diện tích hai đáy
Thể tích	V = S · h	S: diện tích một đáy

Vì sao S_xq = C · h?

Nếu “trải phẳng” các mặt bên, em được một hình chữ nhật lớn có một cạnh bằng tổng các cạnh đáy (tức chu vi đáy C) và cạnh kia bằng chiều cao h. Vì vậy diện tích xung quanh bằng C · h.

Vì sao V = S_đáy · h?

Hãy tưởng tượng lăng trụ được xếp từ nhiều “lát mỏng” giống hệt mặt đáy, chồng lên nhau đến độ cao h. Mỗi lát có diện tích S_đáy, nên thể tích bằng S_đáy nhân h, giống như cách tính thể tích hình hộp chữ nhật (diện tích đáy a·b nhân chiều cao c).

Cách tính thể tích hình lăng trụ đứng tam giác từng bước

Xác định đáy: tìm hai mặt tam giác bằng nhau. Chú ý khi hình vẽ “nằm ngang”, đáy có thể nằm ở hai bên chứ không ở dưới.
Tính diện tích tam giác đáy: S_đáy = ½ · a · h_a (a là một cạnh của tam giác, h_a là đường cao tương ứng). Tam giác vuông thì lấy nửa tích hai cạnh góc vuông.
Xác định chiều cao lăng trụ h: độ dài cạnh bên, không phải đường cao của tam giác đáy.
Nhân: V = S_đáy · h, ghi đơn vị khối (cm³, m³…).

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông

Đề: Một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 3 cm và 4 cm, cạnh huyền 5 cm; chiều cao lăng trụ 10 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích.

Giải:

Chu vi đáy: C = 3 + 4 + 5 = 12 (cm).
S_xq = 12 · 10 = 120 (cm²).
Diện tích đáy: S = ½ · 3 · 4 = 6 (cm²).
S_tp = 120 + 2 · 6 = 132 (cm²).
V = 6 · 10 = 60 (cm³).

Ví dụ 2: Chiếc lều cắm trại

Đề: Một chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác. Mặt trước của lều là tam giác có cạnh đáy 2 m và chiều cao 1,5 m; lều dài 3 m. Tính thể tích khoảng không bên trong lều.

Giải: Diện tích đáy (mặt trước): S = ½ · 2 · 1,5 = 1,5 (m²). Chiều cao lăng trụ chính là chiều dài lều: h = 3 m. Vậy V = 1,5 · 3 = 4,5 (m³).

Nhận xét: ở bài này lăng trụ “nằm”, nên “chiều cao lăng trụ” là chiều dài lều, còn 1,5 m là chiều cao của tam giác đáy. Đây là chỗ nhiều bạn nhầm nhất.

Ví dụ 3: Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thang

Đề: Một lăng trụ đứng có đáy là hình thang với hai đáy 8 cm và 4 cm, chiều cao hình thang 3 cm; chiều cao lăng trụ 6 cm. Tính thể tích.

Giải: S_đáy = (8 + 4) · 3 : 2 = 18 (cm²). V = 18 · 6 = 108 (cm³).

Ví dụ 4: Tìm chiều cao khi biết thể tích

Đề: Một lăng trụ đứng tam giác có thể tích 240 cm³, diện tích đáy 20 cm². Tính chiều cao lăng trụ.

Giải: Từ V = S · h suy ra h = V : S = 240 : 20 = 12 (cm).

Lỗi sai thường gặp

Nhầm hai “chiều cao”: chiều cao tam giác đáy dùng để tính S_đáy; chiều cao lăng trụ (cạnh bên) dùng để nhân ra thể tích.
Quên chia 2 khi tính diện tích tam giác đáy, khiến thể tích gấp đôi kết quả đúng.
Dùng chu vi thay cho diện tích trong công thức thể tích (hoặc ngược lại trong S_xq).
Sai đơn vị: diện tích là cm², thể tích là cm³; nếu các kích thước khác đơn vị phải đổi về cùng đơn vị trước khi tính.
Quên cộng hai đáy khi đề hỏi diện tích toàn phần (ví dụ tính lượng giấy bọc kín một hộp quà).

Bài tập tự luyện

Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác với một cạnh 6 cm và đường cao tương ứng 4 cm, chiều cao lăng trụ 9 cm. Tính thể tích. Đáp số: 108 cm³.
Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi với hai đường chéo 6 cm và 8 cm, cạnh hình thoi 5 cm, chiều cao lăng trụ 10 cm. Tính S_xq và V. Đáp số: S_xq = 200 cm²; V = 240 cm³.
Một máng nước hình lăng trụ đứng tam giác có diện tích đáy 0,15 m², dài 2 m. Máng chứa được tối đa bao nhiêu lít nước? Đáp số: 0,3 m³ = 300 lít.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng tam giác là gì?

V = S đáy × h, trong đó S đáy là diện tích tam giác đáy (bằng nửa tích một cạnh với đường cao tương ứng) và h là chiều cao lăng trụ.

Hình lăng trụ đứng tam giác có bao nhiêu mặt, đỉnh, cạnh?

Có 5 mặt (2 mặt đáy tam giác, 3 mặt bên hình chữ nhật), 6 đỉnh và 9 cạnh.

Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng tính thế nào?

Bằng chu vi đáy nhân với chiều cao: S xq = C × h. Muốn có diện tích toàn phần thì cộng thêm diện tích hai đáy.

Chiều cao của lăng trụ đứng là gì?

Là khoảng cách giữa hai mặt đáy, bằng độ dài một cạnh bên. Không nhầm với đường cao của tam giác đáy.

Hình hộp chữ nhật có phải hình lăng trụ đứng tứ giác không?

Có. Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình chữ nhật; hình lập phương là trường hợp đặc biệt có mọi cạnh bằng nhau.