Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và cách áp dụng

Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 và công bội q thỏa mãn |q| < 1 (cấp số nhân lùi vô hạn). Khi đó tổng vô hạn S = u1 + u2 + … + un + … được tính bằng công thức S = u1/(1 − q). Điều kiện |q| < 1 là bắt buộc, vì khi đó qn tiến về 0 và tổng mới hữu hạn.

Tổng CSN lùi vô hạn: công thức S = u1/(1 − q)

Trả lời nhanh

Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ và công bội q thỏa mãn |q| < 1 (cấp số nhân lùi vô hạn). Khi đó tổng vô hạn S = u₁ + u₂ + … + u_n + … được tính bằng công thức S = u₁/(1 − q). Điều kiện |q| < 1 là bắt buộc, vì khi đó qⁿ tiến về 0 và tổng mới hữu hạn.

Thế nào là cấp số nhân lùi vô hạn?

Cấp số nhân vô hạn (u_n) với công bội q được gọi là lùi vô hạn nếu |q| < 1, tức là −1 < q < 1 và q ≠ 0 (nếu q = 0 thì các số hạng sau u₁ đều bằng 0, công thức vẫn đúng).

Khi |q| < 1, các số hạng có giá trị tuyệt đối giảm dần về 0, nên cộng vô hạn số hạng vẫn có thể cho ra một số xác định.

Công thức tính tổng

S = u₁ + u₁q + u₁q² + … = u₁/(1 − q), với |q| < 1.

u₁ là số hạng đầu tiên của tổng đang xét.
q là tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp: q = u₂/u₁.
Mẫu số là 1 − q, không phải 1 + q (hay nhầm khi q âm).

Vì sao có công thức này?

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (q ≠ 1) là S_n = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q).

Tổng vô hạn chính là giới hạn của S_n khi n → +∞. Vì |q| < 1 nên lim qⁿ = 0, suy ra S = lim S_n = u₁(1 − 0)/(1 − q) = u₁/(1 − q).

Nếu |q| ≥ 1 thì qⁿ không tiến về 0 (với u₁ ≠ 0), S_n không có giới hạn hữu hạn, nên không có công thức trên.

Các bước giải bài tập

Xác định số hạng đầu u₁ và công bội q = u₂/u₁.
Kiểm tra |q| < 1.
Thay vào S = u₁/(1 − q) và rút gọn.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tính S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …

u₁ = 1, q = 1/2 (thỏa |q| < 1). S = 1/(1 − 1/2) = 2.

Ví dụ 2. Tính S = 3 − 1 + 1/3 − 1/9 + …

u₁ = 3, q = −1/3, |q| < 1. S = 3/(1 + 1/3) = 3/(4/3) = 9/4.

Ví dụ 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,(36) = 0,363636… dưới dạng phân số.

Ta có 0,(36) = 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + …, là tổng cấp số nhân với u₁ = 0,36 và q = 0,01. Do đó S = 0,36/(1 − 0,01) = 0,36/0,99 = 36/99 = 4/11.

Ví dụ 4. Tìm x (|x| < 1) sao cho 1 + x + x² + x³ + … = 5/3.

Vế trái có u₁ = 1, q = x nên bằng 1/(1 − x). Giải 1/(1 − x) = 5/3 ⇒ 1 − x = 3/5 ⇒ x = 2/5 (thỏa |x| < 1).

Ví dụ 5 (bài toán thực tế). Một quả bóng thả từ độ cao 10 m xuống đất, mỗi lần nảy lên đạt 3/5 độ cao của lần rơi trước. Tính tổng quãng đường bóng đi được cho đến khi dừng hẳn (lí tưởng hoá).

Quãng đường = 10 (rơi lần đầu) + 2·(6 + 3,6 + 2,16 + …) vì mỗi lần nảy lên đều đi lên rồi rơi xuống cùng độ cao. Dãy 6; 3,6; … có u₁ = 6, q = 3/5 nên tổng là 6/(1 − 0,6) = 15. Vậy tổng quãng đường = 10 + 2·15 = 40 m.

Lỗi sai thường gặp

Quên kiểm tra |q| < 1. Ví dụ 1 + 2 + 4 + … không có tổng hữu hạn, không được dùng công thức.
Nhầm u₁. Nếu tổng bắt đầu từ số hạng thứ ba thì u₁ trong công thức là số hạng thứ ba đó.
Sai dấu mẫu. Với q = −1/3 thì 1 − q = 1 + 1/3, không phải 2/3.
Nhầm với tổng n số hạng đầu. S_n = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q) dùng cho hữu hạn số hạng, còn u₁/(1 − q) chỉ dùng cho vô hạn số hạng.

Mẹo nhớ: “Số đầu chia cho một trừ công bội”, và nhớ kiểm tra công bội nằm giữa −1 và 1.

Bài luyện tập

Tính 4 + 2 + 1 + 1/2 + …
Tính 1 − 1/3 + 1/9 − 1/27 + …
Viết 0,(7) dưới dạng phân số.
Cấp số nhân lùi vô hạn có u₁ = 2 và tổng S = 3. Tìm công bội q.

Đáp án.

u₁ = 4, q = 1/2 ⇒ S = 4/(1/2) = 8.
u₁ = 1, q = −1/3 ⇒ S = 1/(4/3) = 3/4.
0,(7) = 0,7 + 0,07 + … có u₁ = 0,7, q = 0,1 ⇒ S = 0,7/0,9 = 7/9.
2/(1 − q) = 3 ⇒ 1 − q = 2/3 ⇒ q = 1/3 (thỏa |q| < 1).

Câu hỏi thường gặp

Điều kiện để cấp số nhân có tổng vô hạn là gì?

Công bội q phải thỏa mãn |q| < 1, tức −1 < q < 1. Khi đó q^n tiến về 0 và tổng S = u1/(1 − q) là một số hữu hạn.

Nếu |q| ≥ 1 thì tổng vô hạn bằng bao nhiêu?

Với u1 ≠ 0 và |q| ≥ 1, tổng n số hạng đầu không có giới hạn hữu hạn nên không có tổng S theo nghĩa này và không được dùng công thức u1/(1 − q).

Làm sao đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số bằng công thức này?

Tách số thành tổng các phần lặp, nhận ra đó là cấp số nhân với q = 0,1; 0,01;… rồi dùng S = u1/(1 − q). Ví dụ 0,(36) có u1 = 0,36, q = 0,01 nên bằng 36/99 = 4/11.

Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn khác gì tổng n số hạng đầu?

Tổng n số hạng đầu là Sn = u1(1 − q^n)/(1 − q), cho hữu hạn số hạng. Tổng vô hạn là giới hạn của Sn khi n tiến tới vô cùng, bằng u1/(1 − q) nếu |q| < 1.