Trả lời nhanh
Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến. Vì vậy nhận định “trọng tâm là giao điểm của ba đường cao” là SAI: giao điểm của ba đường cao gọi là trực tâm. Trọng tâm còn chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ số 2 : 1, tính từ đỉnh.
Trọng tâm tam giác là gì?
Trong tam giác, đường trung tuyến là đoạn thẳng nối một đỉnh với trung điểm cạnh đối diện. Mỗi tam giác có đúng ba đường trung tuyến. Ba đường này luôn cùng đi qua một điểm, gọi là trọng tâm của tam giác, thường kí hiệu là G.
Trọng tâm luôn nằm bên trong tam giác, dù tam giác nhọn, vuông hay tù.
Tính chất quan trọng của trọng tâm
Gọi AM, BN, CP là ba đường trung tuyến của tam giác ABC, cắt nhau tại G. Khi đó:
- AG = 2⁄3 AM, hay AG = 2GM.
- BG = 2⁄3 BN, hay BG = 2GN.
- CG = 2⁄3 CP, hay CG = 2GP.
Nói cách khác, khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh gấp đôi khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm cạnh đối diện. Cũng có thể viết GM = 1⁄3 AM.
Vì sao “ba đường cao” là sai?
Đường cao là đoạn vuông góc hạ từ đỉnh xuống đường thẳng chứa cạnh đối diện. Ba đường cao cũng đồng quy, nhưng giao điểm của chúng là trực tâm (kí hiệu H), không phải trọng tâm.
Hai điểm này nói chung là hai điểm khác nhau. Chúng chỉ trùng nhau khi tam giác đều. Lúc đó mỗi đường trung tuyến đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực.
Bảng phân biệt bốn điểm đồng quy hay gặp
| Giao điểm của ba đường | Tên điểm | Đặc điểm nổi bật |
|---|---|---|
| Trung tuyến | Trọng tâm G | Luôn nằm trong tam giác; AG = 2/3 AM |
| Đường cao | Trực tâm H | Có thể nằm trong, trên hoặc ngoài tam giác |
| Phân giác | Tâm đường tròn nội tiếp I | Cách đều ba cạnh; luôn nằm trong tam giác |
| Trung trực | Tâm đường tròn ngoại tiếp O | Cách đều ba đỉnh |
Mẹo nhớ
- “Trọng tâm – Trung tuyến”: cùng bắt đầu bằng chữ T, hãy nhớ cặp đôi này.
- “Trực tâm – đường cao”: đường cao vuông góc với cạnh, mà vuông góc nghĩa là “thẳng” (trực).
- Trọng tâm là điểm cân bằng. Nếu cắt một tấm bìa hình tam giác đều, bạn có thể đặt nó thăng bằng trên đầu ngón tay tại điểm này.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm trọng tâm với trực tâm vì cả hai đều là giao của “ba đường đặc biệt”.
- Viết sai tỉ số thành GM = 2AG. Phải nhớ đoạn dài hơn là đoạn nối từ đỉnh đến G.
- Lấy 2/3 của cạnh thay vì 2/3 của đường trung tuyến.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ. Tam giác ABC có trọng tâm G, đường trung tuyến AM dài 12 cm. Tính AG và GM.
Giải: Theo tính chất trọng tâm, AG = 2⁄3 · 12 = 8 (cm). Khi đó GM = 12 − 8 = 4 (cm). Kiểm tra: AG = 2GM, vì 8 = 2 · 4. ✔
Bài luyện tập
- Tam giác DEF có trọng tâm G và đường trung tuyến EK = 9 cm. Tính EG và GK.
- Điền vào chỗ trống: “Ba đường phân giác của tam giác cắt nhau tại ……, điểm này cách đều ba ……”.
- Đúng hay sai: “Trong tam giác đều, trọng tâm và trực tâm trùng nhau”. Giải thích.
Đáp án.
- EG = 2⁄3 · 9 = 6 cm; GK = 9 − 6 = 3 cm.
- Cắt nhau tại tâm đường tròn nội tiếp; điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.
- Đúng. Trong tam giác đều, mỗi đường trung tuyến cũng là đường cao, nên giao điểm các trung tuyến (trọng tâm) trùng giao điểm các đường cao (trực tâm).
Câu hỏi thường gặp
Trọng tâm là giao điểm của ba đường gì?
Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.
Giao điểm của ba đường cao gọi là gì?
Đó là trực tâm của tam giác, thường kí hiệu là H. Trực tâm khác trọng tâm, trừ trường hợp tam giác đều.
Trọng tâm chia đường trung tuyến theo tỉ số nào?
Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn theo tỉ số 2 : 1 tính từ đỉnh. Tức là khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng 2/3 độ dài trung tuyến.
Trọng tâm có thể nằm ngoài tam giác không?
Không. Trọng tâm luôn nằm bên trong tam giác, dù đó là tam giác nhọn, vuông hay tù.