Trả lời nhanh
Đáp án: 4 mặt phẳng. Khi bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng thì không có ba điểm nào thẳng hàng, nên mỗi bộ ba điểm xác định đúng một mặt phẳng. Có C(4,3) = 4 bộ ba, cho 4 mặt phẳng phân biệt: (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
Đề bài
Đề thường gặp: “Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong bốn điểm đó?” Kết quả là 4. Nếu đề của bạn ghi các phương án số, hãy chọn phương án bằng 4.
Lời giải chi tiết
Ta dùng tính chất: ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
- Không có ba điểm nào thẳng hàng. Giả sử A, B, C thẳng hàng. Khi đó đường thẳng đi qua ba điểm này cùng điểm D xác định một mặt phẳng, nên cả bốn điểm đồng phẳng. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
- Mỗi bộ ba cho đúng một mặt phẳng. Vì ba điểm đã chọn không thẳng hàng.
- Số bộ ba: chọn 3 trong 4 điểm, tức C(4,3) = 4, hay bỏ lần lượt từng điểm một.
- Các mặt phẳng đều khác nhau. Giả sử (ABC) trùng (ABD) thì cả bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trong một mặt phẳng, vô lý. Các cặp còn lại lập luận tương tự.
Vậy có 4 mặt phẳng: (ABC), (ABD), (ACD), (BCD). Đây chính là bốn mặt của hình tứ diện ABCD.
Vì sao các đáp án khác sai?
| Con số hay bị chọn | Sai ở đâu |
|---|---|
| 6 | Nhầm với số đường thẳng nối hai điểm: C(4,2) = 6. Mặt phẳng cần ba điểm, không phải hai. |
| 3 | Chỉ đếm các mặt phẳng chứa một đỉnh, quên mặt đối diện. Ví dụ chỉ đếm (ABC), (ABD), (ACD) mà thiếu (BCD). |
| 1 | Chỉ đúng khi bốn điểm đồng phẳng, trái với giả thiết. |
Mẹo nhớ
- Bốn điểm không đồng phẳng chính là bốn đỉnh một tứ diện, và tứ diện có 4 mặt.
- Đếm mặt phẳng bằng cách “bỏ một điểm”: bỏ D được (ABC), bỏ C được (ABD), bỏ B được (ACD), bỏ A được (BCD).
- Đếm đường thẳng bằng cách “chọn hai điểm”: được 6 đường thẳng (AB, AC, AD, BC, BD, CD).
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm điều kiện “không đồng phẳng” với “không thẳng hàng”. Bốn điểm không đồng phẳng thì chắc chắn không có ba điểm thẳng hàng, nhưng chiều ngược lại không đúng.
- Quên kiểm tra các mặt phẳng có trùng nhau hay không. Ở bài này chúng đều phân biệt.
- Áp dụng máy móc C(n,3) khi các điểm có thể thẳng hàng hoặc đồng phẳng. Công thức này chỉ đúng khi không có bốn điểm nào đồng phẳng.
Bài luyện tập
- Bài 1. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng xác định được bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong bốn điểm?
Đáp án: C(4,2) = 6 đường thẳng. Không có hai đường nào trùng, vì nếu trùng thì có ba điểm thẳng hàng. - Bài 2. Cho 5 điểm trong không gian, trong đó không có bốn điểm nào đồng phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong năm điểm?
Đáp án: C(5,3) = 10 mặt phẳng. - Bài 3. Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng và không có ba điểm nào thẳng hàng thì có mấy mặt phẳng đi qua ba trong bốn điểm?
Đáp án: Chỉ 1 mặt phẳng, vì cả bốn bộ ba đều nằm trong cùng một mặt phẳng.
Câu hỏi thường gặp
Bốn điểm không đồng phẳng xác định được bao nhiêu mặt phẳng?
Xác định được 4 mặt phẳng phân biệt, mỗi mặt phẳng đi qua một bộ ba trong bốn điểm: (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
Bốn điểm không đồng phẳng có thể có ba điểm thẳng hàng không?
Không. Nếu có ba điểm thẳng hàng thì đường thẳng đó cùng điểm còn lại nằm trong một mặt phẳng, khi đó bốn điểm đồng phẳng.
Vì sao không phải là 6 mặt phẳng?
Số 6 là số đường thẳng nối hai điểm, C(4,2). Mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng nên số mặt phẳng là C(4,3) = 4.
Hình nào có bốn đỉnh không đồng phẳng?
Hình tứ diện ABCD. Bốn đỉnh của nó không đồng phẳng và bốn mặt chính là bốn mặt phẳng nói trên.