Lim khi x tiến tới dương vô cùng: biểu thức gốc đã bị cắt
Lớp 11Toán

Tính giới hạn khi x tiến tới dương vô cùng: cách làm và ví dụ

Trả lời nhanh

Để tính giới hạn khi x → +∞, em đưa biểu thức về các số hạng dạng 1/xk (đều tiến về 0): chia tử và mẫu cho luỹ thừa bậc cao nhất của x, hoặc nhân liên hợp nếu có căn. Ví dụ, lim 17/(x2+1) = 0 vì tử là hằng số còn mẫu tiến tới +∞.

Đề gốc của trang này chỉ còn lại phần tên đọc từ đường dẫn, nên mình trình bày theo phương pháp chung cho dạng “tính giới hạn khi x tiến tới dương vô cùng”. Các ví dụ bên dưới là ví dụ tự đặt, em thay số vào đề của mình là làm được.

Kiến thức cần nhớ

  • Với số nguyên dương k: limx→+∞ xk = +∞ và limx→+∞ 1/xk = 0.
  • Với hằng số c: limx→+∞ c/xk = 0.
  • Đa thức: limx→+∞ (anxn + … + a0) có dấu và giá trị vô cùng được quyết định bởi số hạng bậc cao nhất anxn.
  • Phân thức hữu tỉ P(x)/Q(x), bậc tử là m, bậc mẫu là n:
    • m < n: giới hạn bằng 0.
    • m = n: giới hạn bằng tỉ số hai hệ số bậc cao nhất.
    • m > n: giới hạn là +∞ hoặc −∞ (xét dấu hệ số bậc cao nhất).

Các bước giải chung

  1. Xác định dạng: có phải dạng xác định ngay (như hằng số chia vô cùng) hay dạng bất định ∞/∞, ∞ − ∞?
  2. Phân thức: đặt hoặc chia cho luỹ thừa bậc cao nhất của x ở mẫu (hoặc bậc lớn nhất trong cả biểu thức).
  3. Có căn thức dạng ∞ − ∞: nhân và chia với biểu thức liên hợp.
  4. Áp dụng lim 1/xk = 0 rồi kết luận.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: lim 17/(x2+1)

Khi x → +∞ thì x2+1 → +∞, còn tử số luôn bằng 17. Hằng số chia cho đại lượng rất lớn thì tiến về 0, nên giới hạn bằng 0.

Ví dụ 2: lim (3x2 − 5x + 1)/(2x2 + 7)

Chia tử và mẫu cho x2:

(3 − 5/x + 1/x2)/(2 + 7/x2) → 3/2.

Đúng với quy tắc “bậc bằng nhau”: tỉ số hệ số bậc cao nhất là 3/2.

Ví dụ 3: lim (x3 − 2x)/(x2 + 1)

Chia tử và mẫu cho x2: (x − 2/x)/(1 + 1/x2). Tử → +∞, mẫu → 1 nên giới hạn là +∞.

Ví dụ 4: lim (x3 − 3x2 + 1)

Đặt x3 ra ngoài: x3(1 − 3/x + 1/x3). Thừa số x3 → +∞, ngoặc → 1 > 0, nên giới hạn là +∞.

Ví dụ 5: lim (√(x2+x) − x)

Đây là dạng ∞ − ∞, nhân liên hợp:

√(x2+x) − x = x / (√(x2+x) + x).

Với x > 0, chia tử và mẫu cho x: 1 / (√(1 + 1/x) + 1) → 1/(1+1) = 1/2.

Lỗi sai thường gặp

  • Viết ∞/∞ = 1 hoặc ∞ − ∞ = 0. Đây là các dạng bất định, phải biến đổi chứ không được kết luận ngay.
  • Quên điều kiện x > 0 khi đưa x ra khỏi căn. Khi x → +∞ thì √(x2) = x. Còn khi x → −∞ thì √(x2) = |x| = −x, rất dễ nhầm dấu.
  • Chỉ nhìn một số hạng. Với tổng, phải xét số hạng bậc cao nhất, không phải số hạng đầu tiên được viết.
  • Cho rằng c/xk → c. Thực ra c/xk → 0.

Mẹo nhớ nhanh

Khi x rất lớn, “bậc cao thắng bậc thấp”: trong tử hay mẫu, chỉ số hạng bậc cao nhất mới có sức nặng. So sánh bậc tử và bậc mẫu là ra ngay đáp số của phân thức, sau đó mới trình bày bước chia để có điểm tự luận.

Bài luyện tập

  1. Tính limx→+∞ (5x − 2)/(x + 4).
  2. Tính limx→+∞ (x2 + 1)/(3x − 1).
  3. Tính limx→+∞ (√(x2+4x) − x).

Đáp án

  1. Chia cho x: (5 − 2/x)/(1 + 4/x) → 5.
  2. Chia cho x: (x + 1/x)/(3 − 1/x). Tử → +∞, mẫu → 3 nên giới hạn là +∞.
  3. Nhân liên hợp: 4x/(√(x2+4x) + x) = 4/(√(1 + 4/x) + 1) → 4/2 = 2.

Câu hỏi thường gặp

Lim x tiến tới dương vô cùng của 1/x bằng bao nhiêu?

Bằng 0. Khi x càng lớn thì 1/x càng nhỏ và tiến dần về 0; tổng quát lim c/x^k = 0 với mọi hằng số c và k nguyên dương.

Khi nào phải chia cho luỹ thừa bậc cao nhất của x?

Khi gặp phân thức có tử và mẫu cùng tiến tới vô cùng (dạng ∞/∞). Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa bậc cao nhất của mẫu để mọi số hạng còn lại có dạng 1/x^k.

Dạng ∞ − ∞ có căn thức xử lý thế nào?

Nhân và chia với biểu thức liên hợp để chuyển về dạng phân thức, rồi chia cho x (hoặc luỹ thừa thích hợp) để tính giới hạn.

x tiến tới âm vô cùng có khác gì không?

Cách làm tương tự nhưng cần chú ý dấu: khi x → −∞ thì căn bậc hai của x² bằng −x, và luỹ thừa bậc lẻ của x tiến tới −∞.

Bài học liên quan