Trả lời nhanh
Phương trình sin2x − √3 sinx = 0 có nghiệm x = kπ hoặc x = π/6 + k2π hoặc x = −π/6 + k2π (k ∈ ℤ). Lý do: viết sin2x = 2sinx·cosx, đặt nhân tử chung được sinx·(2cosx − √3) = 0, rồi giải riêng sinx = 0 và cosx = √3/2.
Lời giải chi tiết
Đề bài: giải phương trình sin2x − √3·sinx = 0. Ở đây ta hiểu √3 là căn bậc hai của 3, đứng trước sinx.
- Dùng công thức nhân đôi: sin2x = 2sinx·cosx. Phương trình trở thành 2sinx·cosx − √3·sinx = 0.
- Đặt nhân tử chung sinx: sinx·(2cosx − √3) = 0.
- Tích bằng 0 khi một trong hai thừa số bằng 0:
- sinx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).
- 2cosx − √3 = 0 ⇔ cosx = √3/2 = cos(π/6) ⇔ x = ±π/6 + k2π (k ∈ ℤ).
Kết luận: x = kπ; x = π/6 + k2π; x = −π/6 + k2π, với k ∈ ℤ.
Kiểm tra nhanh nghiệm
- x = π: sin2π = 0 và √3·sinπ = 0 → hiệu bằng 0 ✔.
- x = π/6: sin(π/3) = √3/2; √3·sin(π/6) = √3·(1/2) = √3/2 → hiệu bằng 0 ✔.
- x = −π/6: sin(−π/3) = −√3/2; √3·sin(−π/6) = −√3/2 → hiệu bằng 0 ✔.
Vì sao không được chia hai vế cho sinx?
Nhiều bạn thấy sinx xuất hiện ở cả hai hạng tử nên chia hai vế cho sinx, được 2cosx = √3. Cách này làm mất toàn bộ nghiệm sinx = 0, tức x = kπ. Muốn chia, phải xét riêng trường hợp sinx = 0 trước. Cách an toàn nhất là đặt nhân tử chung, không chia.
Lỗi sai thường gặp
- Viết sin2x = 2sinx (quên cosx) hoặc sin2x = (sinx)² – cả hai đều sai.
- Chỉ lấy một họ nghiệm của cosx = √3/2, quên dấu ± nên mất nghiệm x = −π/6 + k2π.
- Viết x = ±π/6 + kπ thay vì k2π: chu kì của cosx là 2π.
- Quên điều kiện k ∈ ℤ ở cuối bài.
Nếu đề hỏi số nghiệm trong một khoảng
Từ ba họ nghiệm trên, ta lọc theo khoảng đề cho. Ví dụ tự đặt:
- Trên đoạn [0; 2π]: x = 0, π/6, π, 11π/6, 2π → có 5 nghiệm.
- Trên khoảng (0; 2π): x = π/6, π, 11π/6 → có 3 nghiệm.
- Trên đoạn [0; π]: x = 0, π/6, π → có 3 nghiệm.
Mẹo: nên đánh dấu các điểm trên đường tròn lượng giác để không bỏ sót hay đếm trùng, nhất là điểm 0 và 2π trùng nhau trên đường tròn nhưng khác nhau trên đoạn [0; 2π].
Biến thể hay gặp: sin2x + √3 sinx = 0
Làm tương tự: sinx·(2cosx + √3) = 0. Khi đó x = kπ hoặc cosx = −√3/2 ⇔ x = ±5π/6 + k2π (k ∈ ℤ). Chỉ khác ở dấu của √3 nên họ nghiệm thứ hai đổi từ ±π/6 thành ±5π/6.
Bài luyện tập
- Giải phương trình sin2x + sinx = 0.
Đáp án: sinx(2cosx + 1) = 0 ⇒ x = kπ hoặc cosx = −1/2 ⇒ x = ±2π/3 + k2π. - Giải phương trình sin2x = cosx.
Đáp án: cosx(2sinx − 1) = 0 ⇒ x = π/2 + kπ; sinx = 1/2 ⇒ x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π. - Giải phương trình sin2x − √2 sinx = 0.
Đáp án: sinx(2cosx − √2) = 0 ⇒ x = kπ hoặc cosx = √2/2 ⇒ x = ±π/4 + k2π.
Tất cả đều theo cùng một khuôn: đưa về dạng tích, giải từng phương trình lượng giác cơ bản, rồi gộp nghiệm.
Câu hỏi thường gặp
Nghiệm của phương trình sin2x − √3 sinx = 0 là gì?
x = kπ, x = π/6 + k2π và x = −π/6 + k2π với k ∈ ℤ. Các nghiệm này có được từ phương trình tích sinx(2cosx − √3) = 0.
Có thể chia hai vế cho sinx không?
Không nên, vì sẽ mất nghiệm sinx = 0 (x = kπ). Nếu chia thì phải xét riêng trường hợp sinx = 0, tốt nhất là đặt nhân tử chung.
Trên đoạn [0; 2π] phương trình có bao nhiêu nghiệm?
Có 5 nghiệm: 0, π/6, π, 11π/6 và 2π.
Vì sao họ nghiệm của cosx = √3/2 có dấu ±?
Vì cosx là hàm chẵn: cosx = cos(π/6) cho x = π/6 + k2π hoặc x = −π/6 + k2π, hai góc đối nhau có cùng giá trị cosin.