Trả lời nhanh
Với câu hỏi “Mệnh đề nào sau đây đúng?”, em kiểm tra từng phương án theo ba bước: xác định đó là loại mệnh đề nào (khẳng định, phủ định, kéo theo, tương đương hay có ∀, ∃), thử một phản ví dụ để tìm chỗ sai, rồi chọn phương án không thể bác bỏ. Chỉ cần một phản ví dụ là mệnh đề chứa ∀ hoặc mệnh đề “nếu … thì …” bị loại.
Mệnh đề là gì?
Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được là đúng hoặc sai, nhưng không thể vừa đúng vừa sai. Ví dụ “2 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng. Câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải mệnh đề. Câu “x + 2 = 5” có biến nên chỉ là mệnh đề chứa biến, chỉ đúng hay sai khi em gán giá trị cho x.
Bốn quy tắc kiểm tra nhanh
- Phủ định: mệnh đề P và phủ định của nó luôn có đúng – sai ngược nhau.
- Kéo theo P ⇒ Q: chỉ sai khi P đúng còn Q sai. Nói cách khác, mệnh đề này đúng khi mọi trường hợp P xảy ra thì Q cũng xảy ra.
- Tương đương P ⇔ Q: đúng khi cả P ⇒ Q lẫn Q ⇒ P cùng đúng.
- Với ∀ và ∃: mệnh đề “∀x, P(x)” sai nếu tìm được một phản ví dụ; mệnh đề “∃x, P(x)” đúng nếu chỉ ra được một giá trị x thoả mãn.
Bảng ví dụ minh hoạ
| Mệnh đề | Đúng hay sai? | Lí do |
|---|---|---|
| ∀x ∈ ℝ, x² > 0 | Sai | Phản ví dụ x = 0 thì x² = 0 |
| ∃x ∈ ℝ, x² − x − 2 = 0 | Đúng | Chọn x = 2 hoặc x = −1 |
| ∀n ∈ ℕ, n² ≥ n | Đúng | n = 0 thì 0 ≥ 0; n ≥ 1 thì n² ≥ n |
| Nếu a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 3 | Đúng | Mọi số chia hết cho 6 đều là bội của 3 |
| Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6 | Sai | Phản ví dụ a = 3 |
| Tam giác có hai góc bằng 60° là tam giác đều | Đúng | Góc còn lại bằng 180° − 120° = 60°, cả ba góc bằng nhau |
| Tứ giác có hai đường chéo vuông góc là hình thoi | Sai | Phản ví dụ hình “cái diều” có hai đường chéo vuông góc nhưng bốn cạnh không bằng nhau |
Cách tìm phủ định của mệnh đề chứa ∀, ∃
Em đổi ký hiệu và phủ định phần điều kiện:
- Phủ định của “∀x, P(x)” là “∃x, không P(x)”.
- Phủ định của “∃x, P(x)” là “∀x, không P(x)”.
Ví dụ: phủ định của “∃x ∈ ℝ, x² < 0” là “∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0”. Trong ví dụ này, mệnh đề gốc sai nên phủ định phải đúng.
Lỗi sai thường gặp
- Cho rằng “Nếu x² = 4 thì x = 2” đúng. Thực tế sai, vì x = −2 cũng có x² = 4. Chiều ngược lại “nếu x = 2 thì x² = 4” mới đúng.
- Chỉ thử vài ví dụ rồi kết luận mệnh đề ∀ là đúng. Nhiều ví dụ đúng vẫn chưa đủ, phải chứng minh tổng quát.
- Phủ định “tất cả đều” thành “tất cả đều không”. Cách đúng là “có ít nhất một … không”.
Luyện tập
- Mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0” đúng hay sai? (Đáp án: đúng, vì bình phương của mọi số thực không âm.)
- Viết mệnh đề phủ định của “∃x ∈ ℝ, x² < 0”. (Đáp án: ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0.)
- Mệnh đề “Nếu n² chia hết cho 4 thì n là số chẵn” đúng hay sai? (Đáp án: đúng, vì nếu n lẻ thì n² lẻ nên không chia hết cho 4.)
- Mệnh đề “Tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có bốn góc vuông” đúng hay sai? (Đáp án: đúng, hai chiều kéo theo đều đúng.)
Câu hỏi thường gặp
Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q khi nào sai?
Chỉ sai khi P đúng còn Q sai; các trường hợp còn lại đều đúng.
Làm sao biết mệnh đề chứa ∀ là sai?
Chỉ cần tìm được một phản ví dụ, tức một giá trị làm cho mệnh đề không còn đúng.
Phủ định của “∀x, P(x)” là gì?
Là “∃x, không P(x)”, nghĩa là có ít nhất một x không thoả điều kiện P.
Mệnh đề tương đương khi nào đúng?
Khi cả hai chiều P ⇒ Q và Q ⇒ P cùng đúng.