Trả lời nhanh
Đáp án A. Hàm số lẻ. Tập xác định của y = sin x cos x là ℝ nên đối xứng qua 0. Khi thay x bằng −x, ta có sin(−x)·cos(−x) = (−sin x)·cos x = −sin x cos x, tức là f(−x) = −f(x). Vì vậy đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và hàm số không thể là hàm chẵn.
Nhắc lại: thế nào là hàm số chẵn, hàm số lẻ?
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. Trước hết D phải là tập đối xứng, nghĩa là nếu x thuộc D thì −x cũng thuộc D. Sau đó ta so sánh f(−x) với f(x):
- Nếu f(−x) = f(x) với mọi x thuộc D thì f là hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung Oy.
- Nếu f(−x) = −f(x) với mọi x thuộc D thì f là hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
Còn nếu có một giá trị x làm cả hai đẳng thức đều sai thì hàm số không chẵn, không lẻ.
Cách 1: Xét f(−x) trực tiếp
- Đặt f(x) = sin x · cos x. Hàm số xác định với mọi x thuộc ℝ, và ℝ là tập đối xứng.
- Tính f(−x) = sin(−x) · cos(−x).
- Dùng hai tính chất quen thuộc: sin(−x) = −sin x (sin là hàm lẻ) và cos(−x) = cos x (cos là hàm chẵn).
- Suy ra f(−x) = (−sin x) · cos x = −sin x cos x = −f(x).
Vậy y = sin x cos x là hàm số lẻ. Đáp án A đúng.
Cách 2: Đưa về công thức nhân đôi
Theo công thức sin 2x = 2 sin x cos x, ta viết f(x) = ½ sin 2x. Hàm số sin 2x là hàm lẻ vì sin(−2x) = −sin 2x, nhân với hằng số ½ vẫn giữ nguyên tính lẻ. Cách này còn cho biết thêm rằng hàm số tuần hoàn với chu kì π và có giá trị lớn nhất bằng ½, nhỏ nhất bằng −½.
Vì sao các phương án B và C bị loại?
- B. Hàm số chẵn: sai, vì f(−x) = −f(x) chứ không bằng f(x). Chẳng hạn f(π/4) = ½ nhưng f(−π/4) = −½.
- C. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ: sai. Một hàm vừa chẵn vừa lẻ phải thoả f(x) = −f(x), tức là f(x) = 0 với mọi x. Hàm số của ta có f(π/4) = ½ khác 0 nên không rơi vào trường hợp này.
Mẹo nhớ nhanh
Quy tắc “lẻ nhân chẵn ra lẻ”: sin x là hàm lẻ, cos x là hàm chẵn, nên tích sin x cos x là hàm lẻ. Tương tự, tích của hai hàm lẻ hoặc hai hàm chẵn thì ra hàm chẵn (ví dụ sin x · tan x là hàm chẵn).
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm tích với tổng. Với y = sin x + cos x, ta có f(−x) = −sin x + cos x, không bằng f(x) cũng không bằng −f(x). Hàm này không chẵn, không lẻ. Hãy đọc kĩ đề xem giữa sin x và cos x là dấu nhân hay dấu cộng.
- Quên kiểm tra tập xác định. Với hàm như y = tan x · cos x thì tập xác định không phải ℝ, cần xét kĩ trước khi kết luận.
- Chỉ thử một giá trị. Việc f(−π/4) = −f(π/4) mới chỉ gợi ý; muốn kết luận phải chứng minh với mọi x.
Bài luyện tập có đáp án
- Xét tính chẵn, lẻ của y = x² · sin x. Đáp án: f(−x) = x² · (−sin x) = −f(x), hàm số lẻ.
- Xét y = cos x + x². Đáp án: f(−x) = cos x + x² = f(x), hàm số chẵn.
- Xét y = sin x + 1. Đáp án: f(−x) = −sin x + 1, không bằng f(x) hay −f(x) với mọi x, hàm số không chẵn, không lẻ.
Chỉ cần nắm chắc ba bước: kiểm tra tập xác định, tính f(−x), rồi so sánh với f(x) và −f(x), bạn sẽ giải nhanh mọi câu hỏi dạng này trong đề kiểm tra và đề thi.
Câu hỏi thường gặp
Hàm số y = sin x cos x là hàm chẵn hay hàm lẻ?
Đó là hàm số lẻ, vì tập xác định là ℝ và f(−x) = sin(−x)cos(−x) = −sin x cos x = −f(x).
Vì sao y = sin x cos x không thể vừa chẵn vừa lẻ?
Hàm vừa chẵn vừa lẻ chỉ có thể là hàm hằng bằng 0. Còn f(π/4) = ½ khác 0 nên hàm số này không thuộc trường hợp đó.
Hàm số y = sin x + cos x chẵn hay lẻ?
Hàm này không chẵn, không lẻ, vì f(−x) = −sin x + cos x không bằng f(x) cũng không bằng −f(x) với mọi x.
Đồ thị hàm số lẻ có tính chất gì?
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng, còn đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.