Trả lời nhanh
Phương trình tan x = 1 có nghiệm x = π/4 + kπ, với k ∈ Z (tương đương x = 45° + k·180°). Vì tan π/4 = 1 và hàm tang tuần hoàn với chu kì π nên cứ cách π đơn vị lại có thêm một nghiệm. Điều kiện cos x ≠ 0 luôn thoả mãn tại các nghiệm này.
Lời giải chi tiết
Phương trình có dạng tan x = tan α với α là một góc đã biết. Ta tìm góc α có tang bằng 1.
- Nhận ra 1 = tan π/4 (vì sin π/4 = cos π/4 = √2/2, chia nhau bằng 1).
- Viết lại: tan x = tan π/4.
- Áp dụng công thức: tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z.
- Kết luận: x = π/4 + kπ, k ∈ Z.
Về điều kiện xác định: tan x có nghĩa khi cos x ≠ 0, tức x ≠ π/2 + kπ. Nghiệm π/4 + kπ không trùng với các giá trị này nên không cần loại nghiệm nào.
Vì sao nghiệm là “+ kπ” mà không phải “+ k2π”?
Hàm sin và cos có chu kì 2π, nhưng tang là thương của sin và cos nên chu kì rút gọn còn π. Trên đường tròn lượng giác, hai điểm đối xứng qua tâm O (ứng với góc π/4 và 5π/4) cho cùng một giá trị tang, vì sin và cos của cả hai đều đổi dấu và tỉ số giữ nguyên.
Nhìn hình: đường thẳng qua O và điểm M cắt trục tang tại T có tung độ 1. Đường thẳng này cũng cắt đường tròn tại điểm đối xứng M’, nên có hai điểm ngọn cung trong mỗi vòng 2π, ứng với hai họ góc π/4 + k2π và 5π/4 + k2π. Hai họ ấy gộp lại thành π/4 + kπ.
Mẹo nhớ: tan x = 1 ⇔ sin x = cos x
Khi tan x = 1, sin x và cos x bằng nhau (và cùng khác 0). Hai số bằng nhau chỉ xảy ra ở góc phần tư thứ I (45°) và phần tư thứ III (225°). Nhớ “45 độ, cộng thêm 180 độ” là ra ngay họ nghiệm.
Bảng nghiệm theo đơn vị
| Đơn vị | Công thức nghiệm |
|---|---|
| Radian | x = π/4 + kπ, k ∈ Z |
| Độ | x = 45° + k·180°, k ∈ Z |
Tìm nghiệm trong một khoảng cho trước
Đề thường hỏi nghiệm thuộc [0; 2π], (−π; π) hay [0; 10π]. Cách làm: thay x = π/4 + kπ vào bất đẳng thức, giải ra k nguyên.
Ví dụ 1. Tìm nghiệm của tan x = 1 trong đoạn [0; 2π].
0 ≤ π/4 + kπ ≤ 2π ⇔ −1/4 ≤ k ≤ 7/4, nên k = 0 hoặc k = 1. Nghiệm: x = π/4 và x = 5π/4.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu nghiệm của tan x = 1 trong đoạn [0; 10π]?
0 ≤ π/4 + kπ ≤ 10π ⇔ −1/4 ≤ k ≤ 39/4 = 9,75, nên k = 0, 1, …, 9. Có 10 nghiệm.
Các dạng mở rộng hay gặp
- tan 2x = 1: 2x = π/4 + kπ ⇒ x = π/8 + kπ/2, k ∈ Z. Nhớ chia cả kπ cho 2.
- tan(x − π/3) = 1: x − π/3 = π/4 + kπ ⇒ x = 7π/12 + kπ, k ∈ Z.
- tan x = −1: x = −π/4 + kπ, k ∈ Z.
Lỗi sai thường gặp
- Viết x = π/4 + k2π: thiếu nghiệm 5π/4, 9π/4… vì nhầm chu kì tang với chu kì sin, cos.
- Viết x = 45° + kπ: trộn lẫn độ và radian. Phải là 45° + k·180°.
- Quên ghi k ∈ Z, hoặc ghi k ∈ N làm mất các nghiệm âm.
- Khi gặp tan 2x = 1, chỉ chia π/4 cho 2 mà quên chia cả kπ.
- Bấm máy tính shift tan 1 chỉ ra một nghiệm 0,785… (tức π/4); phải tự thêm kπ.
Bài luyện tập
- Giải phương trình tan 3x = 1.
- Tìm các nghiệm của tan x = 1 thuộc đoạn [−π; 2π].
- Giải phương trình tan x = −1 và cho biết nghiệm dương nhỏ nhất.
Đáp án.
- 3x = π/4 + kπ ⇒ x = π/12 + kπ/3, k ∈ Z.
- −π ≤ π/4 + kπ ≤ 2π ⇔ −5/4 ≤ k ≤ 7/4 ⇒ k = −1, 0, 1. Nghiệm: −3π/4, π/4, 5π/4.
- x = −π/4 + kπ, k ∈ Z. Nghiệm dương nhỏ nhất ứng với k = 1: x = 3π/4.
Câu hỏi thường gặp
Phương trình tan x = 1 có nghiệm là gì?
Nghiệm là x = π/4 + kπ với k ∈ Z, tức x = 45° + k·180° nếu tính theo độ.
Vì sao nghiệm của tan x = 1 là + kπ chứ không phải + k2π?
Hàm tang có chu kì π. Hai điểm trên đường tròn lượng giác ứng với π/4 và 5π/4 đều có tang bằng 1, nên hai họ nghiệm gộp lại thành π/4 + kπ.
Có cần đặt điều kiện cos x ≠ 0 khi giải tan x = 1 không?
Điều kiện vẫn cần nêu cho đủ bước, nhưng nghiệm π/4 + kπ không làm cos x = 0 nên không loại nghiệm nào.
Trong đoạn [0; 2π], phương trình tan x = 1 có mấy nghiệm?
Có 2 nghiệm là x = π/4 và x = 5π/4, ứng với k = 0 và k = 1.