Lim x tiến tới âm vô cùng: x − x³ + 1 bằng bao nhiêu?

Trả lời nhanh

Đề gốc không rõ dấu giữa các hạng tử nên dưới đây giải cả ba dạng hay gặp. Với đa thức, ta đặt x³ làm nhân tử chung: lim_x→−∞(x − x³ + 1) = +∞, còn lim_x→−∞(x + x³ − 1) = −∞. Với phân thức x/(x³ + 1) thì giới hạn bằng 0, vì tử có bậc nhỏ hơn mẫu.

Đề bài và cách hiểu

Đề hỏi giá trị của giới hạn khi x tiến tới âm vô cùng của một biểu thức gồm x, x³ và số 1. Dấu cộng, trừ hoặc dấu chia bị mất khi đề được rút gọn thành đường dẫn. Vì thế ta không đoán một phương án mà nắm cách làm, rồi áp dụng cho từng dạng.

Cả ba dạng đều dùng một ý chính: khi x → −∞ thì hạng tử có bậc cao nhất quyết định kết quả. Riêng x³ còn mang dấu âm, nên phải xét dấu cẩn thận.

Kiến thức cần nhớ

Khi x → −∞: x → −∞, x² → +∞, x³ → −∞.
Với k nguyên dương: lim_x→−∞ 1/x^k = 0.
Quy tắc dấu: (−∞) × (số dương) = −∞ và (−∞) × (số âm) = +∞.

Dạng 1: lim_x→−∞(x − x³ + 1)

Đặt x³ làm nhân tử chung:

x − x³ + 1 = x³ · (1/x² − 1 + 1/x³).

x³ → −∞.
Biểu thức trong ngoặc tiến tới 0 − 1 + 0 = −1, là số âm.

Tích (−∞)·(−1) cho +∞. Vậy lim_x→−∞(x − x³ + 1) = +∞. Với x − x³ − 1 ta làm tương tự và cũng được +∞.

Cách kiểm tra nhanh: thử x = −10 thì −10 + 1000 + 1 = 991, một số dương lớn. Với x = −100 ta được 999 901, số dương còn lớn hơn.

Dạng 2: lim_x→−∞(x + x³ − 1)

x + x³ − 1 = x³ · (1/x² + 1 − 1/x³).

Ngoặc tiến tới 1 là số dương, còn x³ → −∞. Vậy giới hạn bằng −∞.

Dạng 3: lim_x→−∞ x/(x³ + 1)

Chia cả tử và mẫu cho x³, là luỹ thừa bậc cao nhất của mẫu:

x/(x³ + 1) = (1/x²) / (1 + 1/x³).

Tử tiến tới 0, mẫu tiến tới 1. Vậy giới hạn bằng 0/1 = 0. Nếu mẫu là x³ − 1 thì kết quả vẫn bằng 0.

Bảng tóm tắt

Biểu thức	Nhân tử chung	Kết quả
x − x³ + 1	x³ · (1/x² − 1 + 1/x³)	+∞
x + x³ − 1	x³ · (1/x² + 1 − 1/x³)	−∞
x/(x³ + 1)	chia tử và mẫu cho x³	0

Lỗi sai thường gặp

Quên dấu của x³. Nhiều bạn thấy hệ số của x³ là −1 thì kết luận ngay −∞. Hệ số −1 nhân với x³ → −∞ thì ra +∞.
Bỏ qua dấu của ngoặc. Phải tìm giới hạn của ngoặc trước, rồi mới nhân với x³.
Nhầm đa thức với phân thức. Đa thức thì đặt nhân tử chung. Phân thức thì chia cho luỹ thừa bậc cao nhất của mẫu.
Viết ∞ − ∞ là 0. Dạng này là dạng vô định, phải biến đổi trước khi kết luận.

Mẹo nhớ: với đa thức, khi x → −∞ thì kết quả có dấu của hạng tử bậc cao nhất, nhưng bậc lẻ phải đổi dấu. Bậc chẵn giữ nguyên dấu hệ số.

Bài luyện tập

Tính lim_x→−∞(2x³ − x + 5).
Tính lim_x→−∞(x² − x³).
Tính lim_x→−∞(3x + 1)/(x² + 4).

Đáp án:

2x³ − x + 5 = x³(2 − 1/x² + 5/x³). Ngoặc tiến tới 2 và x³ → −∞ nên kết quả là −∞.
x² − x³ = x³(1/x − 1). Ngoặc tiến tới −1 và x³ → −∞ nên kết quả là +∞.
Chia tử và mẫu cho x²: (3/x + 1/x²)/(1 + 4/x²) → 0/1 = 0.

Câu hỏi thường gặp

Khi x tiến tới âm vô cùng thì x³ tiến tới đâu?

x³ tiến tới −∞, vì luỹ thừa bậc lẻ của một số âm có giá trị tuyệt đối rất lớn thì vẫn âm. Ngược lại, x² tiến tới +∞.

Vì sao lim(x − x³ + 1) khi x → −∞ lại bằng +∞ mà không phải −∞?

Sau khi đặt x³ làm nhân tử chung, ngoặc tiến tới −1 và x³ tiến tới −∞. Tích của hai số âm là số dương, nên kết quả là +∞.

Giới hạn x/(x³ + 1) khi x → −∞ tính thế nào?

Chia cả tử và mẫu cho x³ để được (1/x²)/(1 + 1/x³). Tử tiến tới 0, mẫu tiến tới 1, nên giới hạn bằng 0.

Có thể thử số để kiểm tra kết quả không?

Có. Thay x = −10, −100 vào biểu thức để xem giá trị thay đổi theo hướng nào. Cách này chỉ để kiểm tra, bài làm vẫn cần biến đổi đại số.