Trả lời nhanh
Chọn hai dãy số cùng tiến tới +∞: xn = 2nπ và x’n = π/2 + 2nπ. Ta có sin xn = 0 → 0 còn sin x’n = 1 → 1. Hai dãy giá trị hàm số có giới hạn khác nhau nên theo định nghĩa giới hạn hàm số, y = sin x không có giới hạn khi x → +∞. Với x → −∞ chứng minh tương tự.
Đề bài và hướng nghĩ
Đề bài: chứng minh hàm số y = sin x không có giới hạn khi x → +∞. Nhiều bạn tìm bài này cùng với giới hạn lim sin x / x khi x → 0, nên ở dưới mình cũng phân biệt hai trường hợp này.
Nhắc lại định nghĩa theo dãy (SGK Toán 11): limx→+∞ f(x) = L khi và chỉ khi với mọi dãy (xn) mà xn → +∞ thì f(xn) → L. Vậy để chứng minh không tồn tại giới hạn, ta chỉ cần chỉ ra hai dãy cùng tiến tới +∞ nhưng f(xn) cho hai giới hạn khác nhau.
Chứng minh chi tiết
Bước 1. Xét dãy xn = 2nπ (n ∈ ℕ*). Khi n → +∞ thì xn → +∞. Mọi số hạng đều có sin xn = sin 2nπ = 0, nên lim sin xn = 0.
Bước 2. Xét dãy x’n = π/2 + 2nπ. Khi n → +∞ thì x’n → +∞. Mọi số hạng đều có sin x’n = sin(π/2 + 2nπ) = 1, nên lim sin x’n = 1.
Bước 3. Hai dãy cùng tiến tới +∞ nhưng 0 ≠ 1. Nếu limx→+∞ sin x = L tồn tại thì cả hai giới hạn trên đều phải bằng L, vô lý. Vậy hàm số y = sin x không có giới hạn khi x → +∞. ∎
Vì sao lại như vậy?
Hàm sin x tuần hoàn chu kì 2π: cứ mỗi chu kì lại lặp lại đúng các giá trị từ −1 đến 1. Muốn có giới hạn L, giá trị hàm phải “dồn” về sát L khi x lớn. Nhưng đồ thị luôn quay lại đỉnh 1 và đáy −1, nên không thể dồn về một số cố định.
Mẹo nhớ: hàm số tuần hoàn không hằng (sin, cos, tan…) thì không có giới hạn khi x → ±∞. Chọn hai dãy: một dãy rơi vào “đỉnh”, một dãy rơi vào “đáy” hoặc “điểm giữa”.
Đừng nhầm với lim sin x / x
| Giới hạn | Kết quả | Cách làm |
|---|---|---|
| limx→0 (sin x)/x | 1 | Giới hạn đặc biệt, dùng nguyên lí kẹp |
| limx→+∞ (sin x)/x | 0 | Kẹp: |sin x / x| ≤ 1/x |
| limx→+∞ sin x | Không tồn tại | Hai dãy như trên |
Chứng minh limx→0 (sin x)/x = 1 (tóm tắt). Với 0 < x < π/2, trên đường tròn lượng giác có sin x < x < tan x. Chia cho sin x > 0 được 1 < x/sin x < 1/cos x, tức cos x < (sin x)/x < 1. Khi x → 0+, cos x → 1 nên (sin x)/x → 1. Vì (sin x)/x là hàm chẵn, giới hạn bên trái cũng bằng 1.
Chứng minh limx→+∞ (sin x)/x = 0. Do −1 ≤ sin x ≤ 1 nên với x > 0: −1/x ≤ (sin x)/x ≤ 1/x. Hai vế đều → 0 nên giới hạn bằng 0.
Lỗi sai thường gặp
- Chỉ thử một dãy (ví dụ xn = nπ rồi kết luận giới hạn bằng 0) — thiếu dãy thứ hai nên không chứng minh được gì.
- Chọn hai dãy mà sin cùng cho một giới hạn, ví dụ 2nπ và 4nπ (cùng bằng 0).
- Viết “lim sin x = ∞” — sai, vì sin x bị chặn nên không thể tiến tới vô cùng; đúng là “không tồn tại”.
- Áp dụng lim (sin x)/x = 1 khi x → ∞. Công thức này chỉ đúng khi x → 0.
Bài luyện tập
- Chứng minh hàm số y = cos x không có giới hạn khi x → +∞.
- Tính limx→0 (sin 3x)/x.
- Tính limx→+∞ (cos x)/(x² + 1).
Đáp án.
- Lấy xn = 2nπ thì cos xn = 1 → 1; lấy x’n = π/2 + 2nπ thì cos x’n = 0 → 0. Hai giới hạn khác nhau nên không có giới hạn.
- (sin 3x)/x = 3·(sin 3x)/(3x) → 3·1 = 3.
- Vì |cos x| ≤ 1 nên |(cos x)/(x² + 1)| ≤ 1/(x² + 1) → 0, suy ra giới hạn bằng 0.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao chỉ cần hai dãy là kết luận được hàm số không có giới hạn?
Định nghĩa yêu cầu mọi dãy x_n → +∞ đều cho f(x_n) cùng tiến về một số L. Chỉ cần một cặp dãy cho hai giá trị giới hạn khác nhau là điều kiện này bị phá vỡ.
lim sin x / x khi x tiến tới 0 bằng bao nhiêu?
Bằng 1. Có thể chứng minh bằng bất đẳng thức cos x < sin x / x < 1 với 0 < x < π/2 rồi dùng nguyên lí kẹp.
lim sin x / x khi x tiến tới vô cùng có bằng 1 không?
Không, bằng 0. Vì |sin x| ≤ 1 nên |sin x / x| ≤ 1/|x| → 0 khi x → ∞.
Hàm y = sin x có giới hạn khi x → −∞ không?
Không. Dùng hai dãy x_n = −2nπ và x'_n = π/2 − 2nπ cùng tiến tới −∞, cho sin lần lượt bằng 0 và 1.