Trả lời nhanh
Với dãy (un) cho bởi u1 = 1 và un+1 = un + 2, mỗi số hạng hơn số hạng liền trước 2 đơn vị nên đây là cấp số cộng có công sai d = 2. Các số hạng đầu là 1, 3, 5, 7, 9… và số hạng tổng quát là un = 2n − 1 (dãy các số lẻ dương).
Lưu ý: đề bài gốc ở dạng rút gọn, ở đây hiểu là u1 = 1 và un+1 = un + 2 (với mọi n ≥ 1). Nếu đề của bạn có hệ số khác, hãy áp dụng đúng các bước ở dưới, chỉ thay số.
Bước 1: Viết vài số hạng đầu
Công thức truy hồi cho biết cách “đi” từ số hạng này sang số hạng sau, nên ta tính lần lượt:
- u1 = 1 (cho sẵn)
- u2 = u1 + 2 = 3
- u3 = u2 + 2 = 5
- u4 = u3 + 2 = 7
- u5 = u4 + 2 = 9
Dãy là 1; 3; 5; 7; 9; … Nhìn vào ta dự đoán un = 2n − 1.
Bước 2: Tìm công thức tổng quát
Cách 1 – dùng cấp số cộng. Vì un+1 − un = 2 không đổi, dãy là cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 2. Áp dụng un = u1 + (n − 1)d:
un = 1 + (n − 1)·2 = 2n − 1.
Cách 2 – chứng minh bằng quy nạp (dùng khi đề yêu cầu “chứng minh”).
- Với n = 1: u1 = 2·1 − 1 = 1, đúng.
- Giả sử uk = 2k − 1 với k ≥ 1.
- Khi đó uk+1 = uk + 2 = 2k − 1 + 2 = 2(k + 1) − 1, tức công thức đúng với k + 1.
Vậy un = 2n − 1 với mọi số nguyên dương n.
Bước 3: Tính chất của dãy
| Tính chất | Kết luận | Lý do |
|---|---|---|
| Tăng hay giảm? | Dãy tăng | un+1 − un = 2 > 0 |
| Bị chặn dưới? | Có, un ≥ 1 | Dãy tăng, số hạng nhỏ nhất là u1 = 1 |
| Bị chặn trên? | Không | 2n − 1 lớn tuỳ ý khi n lớn |
Bước 4: Tổng n số hạng đầu
Với cấp số cộng: Sn = n(u1 + un)/2 = n(1 + 2n − 1)/2 = n2.
Kiểm tra: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42. Mẹo nhớ: tổng n số lẻ đầu tiên bằng n2.
Lỗi sai thường gặp
- Viết un = 2n + 1: sai vì khi n = 1 cho u1 = 3, không khớp u1 = 1. Luôn thử lại với n = 1, 2.
- Nhầm un+1 với un + 1: chỉ số n + 1 là vị trí của số hạng, không phải số cộng thêm.
- Dùng (n − 1)d mà quên số hạng đầu, hoặc dùng nhầm n thay cho n − 1.
Bài luyện tập
- Cho u1 = 3 và un+1 = un + 5. Tìm un và u20.
Đáp án: cấp số cộng d = 5 nên un = 3 + 5(n − 1) = 5n − 2; u20 = 98. - Cho u1 = 2 và un+1 = 2un. Tìm un.
Đáp án: đây là cấp số nhân công bội 2 nên un = 2·2n−1 = 2n (u1 = 2, u2 = 4, u3 = 8). - Với dãy u1 = 1, un+1 = un + 2, tính u100 và tổng 50 số hạng đầu.
Đáp án: u100 = 199; S50 = 502 = 2500.
Câu hỏi thường gặp
Dãy số cho bằng công thức truy hồi là gì?
Là dãy cho biết số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu) và quy tắc tính số hạng thứ n + 1 từ các số hạng trước đó, ví dụ u₁ = 1 và uₙ₊₁ = uₙ + 2.
Làm sao nhận biết dãy là cấp số cộng?
Nếu hiệu uₙ₊₁ − uₙ bằng một hằng số d với mọi n thì dãy là cấp số cộng công sai d. Ở bài này d = 2.
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là gì?
uₙ = u₁ + (n − 1)d. Với u₁ = 1, d = 2 ta được uₙ = 2n − 1.
Tổng n số lẻ đầu tiên bằng bao nhiêu?
Bằng n². Ví dụ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5².