Trả lời nhanh
Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l (l cắt (P)) biến mỗi điểm M thành giao điểm M’ của (P) với đường thẳng qua M song song với l. Phép chiếu này giữ tính thẳng hàng, giữ quan hệ song song, giữ tỉ số độ dài của hai đoạn trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song, nhưng không giữ độ dài và góc.
1. Phép chiếu song song là gì?
Hình dung ánh nắng mặt trời chiếu xuống sân: các tia nắng gần như song song với nhau, và bóng của một vật in lên mặt đất chính là hình chiếu song song của vật đó. Toán học hoá hình ảnh này ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa. Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng l cắt (P). Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song (hoặc trùng) với l cắt (P) tại một điểm M’ duy nhất. Điểm M’ gọi là hình chiếu song song của M lên (P) theo phương l.
- (P) gọi là mặt phẳng chiếu.
- l gọi là phương chiếu.
- Hình chiếu của hình H là tập hợp hình chiếu của mọi điểm thuộc H, kí hiệu H’.
Cách làm này gọi là phép chiếu song song lên (P) theo phương l. Nếu phương chiếu l vuông góc với (P) thì ta có phép chiếu vuông góc – một trường hợp đặc biệt, em sẽ gặp kĩ hơn ở bài sau.
Mẹo nhớ: muốn tìm M’, cứ “kẻ qua M một đường song song với l, nó đâm xuống (P) ở đâu thì đó là M'”. Phương chiếu không được song song với (P), nếu không đường kẻ qua M sẽ không bao giờ chạm (P).
2. Bốn tính chất cần thuộc
Giả sử ta chiếu song song lên (P) theo phương l.
- Tính thẳng hàng: ba điểm thẳng hàng được chiếu thành ba điểm thẳng hàng, và điểm nằm giữa vẫn nằm giữa (không đổi thứ tự).
- Hình dạng cơ bản: đường thẳng chiếu thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng (trừ khi đường thẳng song song với phương chiếu, khi đó nó bị chiếu thành một điểm).
- Quan hệ song song: hai đường thẳng song song được chiếu thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
- Tỉ số độ dài: hình chiếu của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng, hoặc trên hai đường thẳng song song, thì có tỉ số độ dài bằng tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng gốc.
Hệ quả hay dùng: trung điểm của đoạn thẳng chiếu thành trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu (vì tỉ số AM : MB = 1 được giữ nguyên).
Phép chiếu song song KHÔNG giữ lại những gì?
| Được giữ | Không được giữ |
|---|---|
| Thẳng hàng, thứ tự các điểm | Độ dài đoạn thẳng (nói chung) |
| Quan hệ song song | Số đo góc |
| Tỉ số hai đoạn trên cùng đường thẳng hoặc trên hai đường song song | Tỉ số hai đoạn trên hai đường thẳng cắt nhau |
| Trung điểm, trọng tâm | Tính vuông góc, tính đều, tính cân |
3. Hình biểu diễn của một hình không gian
Muốn vẽ một khối chóp hay hình hộp lên trang giấy phẳng, ta vẽ hình biểu diễn của nó, tức là hình chiếu song song của hình đó lên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó.
Quy tắc vẽ
- Giữ nguyên quan hệ song song: các cạnh song song ngoài thực tế phải được vẽ song song.
- Giữ nguyên tỉ số: trung điểm vẽ ở chính giữa, điểm chia đoạn theo tỉ số nào thì vẽ đúng tỉ số ấy.
- Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
Hình biểu diễn của một số hình phẳng quen thuộc
| Hình gốc | Hình biểu diễn có thể vẽ là |
|---|---|
| Tam giác (cân, đều, vuông…) | Một tam giác tuỳ ý |
| Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi | Một hình bình hành tuỳ ý |
| Hình thang | Một hình thang có tỉ số hai đáy bằng tỉ số hai đáy ban đầu |
| Đường tròn | Một đường elip |
Vì thế khi vẽ hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, em cứ vẽ ABCD thành hình bình hành “nghiêng nghiêng” mà không sợ sai.
4. Ví dụ minh hoạ có lời giải
Ví dụ 1 – Giữ tỉ số trên cùng một đường thẳng
Ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó với AB = 2BC. Phép chiếu song song biến A, B, C thành A’, B’, C’. Tính tỉ số A’B’ : B’C’.
Lời giải: A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng nên theo tính chất 4, A’B’ : B’C’ = AB : BC = 2. Ngoài ra B’ nằm giữa A’ và C’ (tính chất 1). Vậy A’B’ = 2B’C’.
Ví dụ 2 – Hình thang
Hình thang ABCD có đáy AB = 3CD. Ta chiếu song song ABCD thành hình A’B’C’D’ (không suy biến). Biết A’B’ = 12 cm, tính C’D’.
Lời giải: AB // CD nên A’B’ // C’D’ (hoặc trùng, nhưng hình không suy biến nên song song). AB và CD nằm trên hai đường thẳng song song nên A’B’ : C’D’ = AB : CD = 3. Suy ra C’D’ = 12 : 3 = 4 cm.
Ví dụ 3 – Trọng tâm
G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh hình chiếu G’ của G là trọng tâm của tam giác A’B’C’.
Lời giải: Gọi M là trung điểm BC thì M’ là trung điểm B’C’. G thuộc đoạn AM với GA = 2GM nên G’ thuộc đoạn A’M’ và G’A’ = 2G’M’ (tính chất 4, các đoạn cùng nằm trên một đường thẳng AM). Vậy G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.
Ví dụ 3 – Vẽ hình biểu diễn hình chóp
Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật.
- Vẽ đáy ABCD thành hình bình hành A’B’C’D’ (cạnh nét liền phía trước, nét đứt phía sau nếu cần).
- Chọn một điểm S ở phía trên, tuỳ ý.
- Nối S với bốn đỉnh; cạnh nào bị mặt đáy che thì vẽ nét đứt (thường là cạnh SD với cách đặt thông dụng).
Vì đáy gốc là hình chữ nhật, nên hai cặp cạnh đối của hình biểu diễn buộc phải song song và bằng nhau, nhưng góc không cần vuông.
5. Lỗi sai thường gặp
- Nghĩ rằng góc và độ dài được giữ nguyên. Tam giác đều có hình biểu diễn không đều; chỉ tỉ số theo điều kiện ở tính chất 4 mới được giữ.
- Áp dụng tỉ số cho hai đoạn nằm trên hai đường thẳng cắt nhau. Ví dụ cạnh AB và AC của tam giác: không suy ra A’B’ : A’C’ = AB : AC.
- Quên trường hợp suy biến. Nếu mặt phẳng chứa hình (chẳng hạn tam giác) song song với phương chiếu thì hình chiếu chỉ là một đoạn thẳng. Đường thẳng song song với phương chiếu bị chiếu thành một điểm.
- Cho rằng hai đường thẳng chéo nhau luôn có hình chiếu chéo nhau. Hình chiếu của chúng có thể cắt nhau, đó là lý do vẽ hình không gian phải dùng nét đứt – nét liền để phân biệt.
- Vẽ sai nét khuất khiến hình trông “rối” và không đọc được quan hệ giữa các đường.
6. Bài tập luyện tập (có đáp án)
Bài 1. Trong hình biểu diễn của một tam giác đều ABC, trung tuyến AM có hình biểu diễn A’M’. M’ có phải trung điểm B’C’ không?
Đáp án: Có. M là trung điểm BC nên MB : MC = 1 trên cùng một đường thẳng, tỉ số được giữ nguyên nên M’B’ = M’C’.
Bài 2. Hình bình hành ABCD được chiếu song song thành A’B’C’D’. Hỏi A’B’C’D’ có thể là hình thang không phải hình bình hành được không?
Đáp án: Không. AB // CD nên A’B’ // C’D’; AD // BC nên A’D’ // B’C’. Vậy A’B’C’D’ có hai cặp cạnh đối song song, là hình bình hành (hoặc suy biến thành đoạn thẳng).
Bài 3. Cho đoạn AB và điểm C trên tia đối của tia BA sao cho BC = 2AB. Sau phép chiếu song song, A’B’ = 5 cm. Tính B’C’.
Đáp án: A, B, C cùng một đường thẳng nên B’C’ : A’B’ = BC : AB = 2. Vậy B’C’ = 10 cm.
Bài 4. Đúng hay sai: “Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau luôn là hai đường thẳng cắt nhau”.
Đáp án: Sai. Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó song song với phương chiếu thì cả hai bị chiếu thành cùng một đường thẳng (trùng nhau). Trong trường hợp còn lại chúng chiếu thành hai đường thẳng cắt nhau.
7. Tóm tắt trong 30 giây
- Chiếu song song = kẻ qua mỗi điểm một đường song song với phương l, lấy giao với (P).
- Giữ: thẳng hàng, thứ tự, song song, trung điểm, tỉ số trên cùng đường hoặc trên hai đường song song.
- Không giữ: độ dài, góc, tính vuông góc, tính đều.
- Hình biểu diễn: tam giác → tam giác bất kì; hình bình hành (và các trường hợp đặc biệt) → hình bình hành; đường tròn → elip.
Câu hỏi thường gặp
Phép chiếu song song có giữ nguyên độ dài đoạn thẳng không?
Nói chung là không. Chỉ có tỉ số độ dài của hai đoạn nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song được giữ nguyên. Độ dài từng đoạn và số đo góc đều có thể thay đổi.
Phương chiếu cần điều kiện gì so với mặt phẳng chiếu?
Phương chiếu l phải cắt mặt phẳng chiếu (P), tức là l không song song và không nằm trong (P). Khi đó, đường thẳng qua mỗi điểm M song song với l mới cắt (P) tại một điểm duy nhất.
Hình biểu diễn của hình vuông là hình gì?
Là một hình bình hành tuỳ ý, vì phép chiếu song song giữ quan hệ song song nhưng không giữ góc vuông và độ dài các cạnh.
Hình chiếu song song của đường tròn là gì?
Thông thường là một đường elip. Trường hợp đặc biệt khi mặt phẳng chứa đường tròn song song với phương chiếu thì hình chiếu là một đoạn thẳng.