Trả lời nhanh
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau; hai góc ở đáy của nó bằng nhau, và ngược lại. Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm; mọi điểm nằm trên nó cách đều hai mút của đoạn thẳng, và mọi điểm cách đều hai mút đều nằm trên nó.
1. Tam giác cân
1.1. Định nghĩa và tên gọi các yếu tố
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Nếu tam giác ABC có AB = AC thì ta nói tam giác ABC cân tại A.
- A là đỉnh (chỗ hai cạnh bằng nhau gặp nhau), góc A là góc ở đỉnh.
- AB và AC là hai cạnh bên; BC là cạnh đáy.
- Góc B và góc C là hai góc ở đáy.
1.2. Tính chất
- Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau: ABC cân tại A thì góc B = góc C.
- Ngược lại, tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân (cân tại đỉnh đối diện với cạnh nằm giữa hai góc ấy).
Vì sao hai góc đáy bằng nhau? Kẻ tia phân giác AD của góc A (D thuộc BC). Hai tam giác ABD và ACD có AB = AC, góc BAD = góc CAD, cạnh AD chung nên bằng nhau theo trường hợp c.g.c. Suy ra góc B = góc C (hai góc tương ứng). Chiều ngược lại chứng minh tương tự bằng trường hợp g.c.g.
1.3. Tam giác đều và tam giác vuông cân
- Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau và mỗi góc bằng 60°.
- Tam giác có ba góc bằng nhau cũng là tam giác đều.
- Tam giác cân có một góc bằng 60° (dù là góc ở đỉnh hay góc ở đáy) thì là tam giác đều.
- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau; hai góc nhọn của nó bằng nhau và mỗi góc bằng 45°.
Mẹo nhớ: “Cân ở đâu thì góc ở hai đầu cạnh đáy bằng nhau”. Muốn tính nhanh, dùng tổng ba góc bằng 180°: góc đáy = (180° − góc đỉnh) : 2 và góc đỉnh = 180° − 2 × góc đáy.
2. Đường trung trực của đoạn thẳng
2.1. Định nghĩa
Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó. Như vậy một đường thẳng d là trung trực của AB phải thoả cả hai điều kiện: d đi qua trung điểm M của AB và d vuông góc với AB. Chỉ thoả một điều kiện thì chưa đủ. Đường trung trực cũng là trục đối xứng của đoạn thẳng.
2.2. Tính chất
- Thuận: điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng ấy (D thuộc d thì DA = DB).
- Đảo: điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Gộp hai ý lại: đường trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp tất cả các điểm cách đều A và B.
Vì sao DA = DB? Với D thuộc d, hai tam giác DMA và DMB có MA = MB, góc DMA = góc DMB = 90° và DM chung, nên bằng nhau (c.g.c), suy ra DA = DB.
2.3. Cách vẽ bằng thước và compa
- Vẽ đoạn thẳng AB.
- Lấy A làm tâm, vẽ một cung tròn có bán kính lớn hơn nửa độ dài AB.
- Lấy B làm tâm, vẽ cung tròn có cùng bán kính đó, sao cho hai cung cắt nhau tại hai điểm M và N.
- Dùng thước nối M với N. Đường thẳng MN là trung trực của AB (giao điểm của MN với AB chính là trung điểm của AB).
Cách này đúng vì M và N đều cách đều A và B, nên cả hai nằm trên trung trực của AB; hai điểm phân biệt xác định đúng một đường thẳng.
3. Bảng tóm tắt nhanh
| Nội dung | Điều kiện | Kết luận |
|---|---|---|
| Tam giác cân | AB = AC | Góc B = góc C |
| Dấu hiệu cân | Góc B = góc C | AB = AC |
| Tam giác đều | Cân và có một góc 60° | Ba cạnh bằng nhau, ba góc 60° |
| Điểm thuộc trung trực | D thuộc d (trung trực của AB) | DA = DB |
| Điểm cách đều hai mút | DA = DB | D thuộc trung trực của AB |
4. Các dạng bài thường gặp và ví dụ
Dạng 1: Tính số đo góc
Ví dụ 1. Tam giác MNP cân tại M có góc N = 52°. Tính góc M.
Giải. Tam giác cân tại M nên góc N = góc P = 52°. Góc M = 180° − 52° − 52° = 76°.
Ví dụ 2. Tam giác ABC cân có một góc bằng 100°. Tính hai góc còn lại.
Giải. Góc 100° là góc tù. Hai góc ở đáy bằng nhau nên không thể cùng là góc tù (tổng sẽ vượt 180°), vậy 100° là góc ở đỉnh. Mỗi góc đáy là (180° − 100°) : 2 = 40°.
Dạng 2: Chứng minh tam giác cân
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Gọi I là giao điểm của BE và CD. Chứng minh tam giác IBC cân tại I.
Giải.
- Hai tam giác ABE và ACD có AB = AC, góc A chung, AE = AD nên bằng nhau (c.g.c). Suy ra góc ABE = góc ACD.
- Tam giác ABC cân tại A nên góc ABC = góc ACB.
- Trừ vế theo vế: góc ABC − góc ABE = góc ACB − góc ACD, tức là góc IBC = góc ICB.
- Tam giác IBC có hai góc ở đáy bằng nhau nên cân tại I.
Ý tưởng cần nhớ: muốn chứng minh cân thì đi tìm hai cạnh hoặc hai góc bằng nhau, thường nhờ cặp tam giác bằng nhau.
Dạng 3: Chứng minh đường trung trực
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là đường trung trực của BC.
Giải. Vì AB = AC nên A cách đều B và C, do đó A thuộc đường trung trực của BC. Vì M là trung điểm nên MB = MC, do đó M cũng thuộc đường trung trực của BC. Hai điểm phân biệt A, M cùng nằm trên trung trực của BC nên đường thẳng AM chính là trung trực của BC.
Cách làm này nhanh hơn chứng minh vuông góc từng bước. Hệ quả thường dùng: trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường cao, đường phân giác và đường trung trực.
Dạng 4: Dùng tính chất “cách đều”
Ví dụ 5. Đoạn thẳng AB dài 8 cm; D nằm trên đường trung trực của AB và DA = 5 cm. Tính chu vi tam giác DAB.
Giải. D thuộc trung trực nên DB = DA = 5 cm. Chu vi = 5 + 5 + 8 = 18 cm.
5. Lỗi sai thường gặp
- Nhầm góc đáy với góc đỉnh. Hai góc bằng nhau luôn là hai góc ở hai đầu cạnh đáy; góc đỉnh nằm giữa hai cạnh bên.
- Quên xét hai trường hợp khi đề cho “tam giác cân có một góc bằng …” mà không nói rõ là góc đỉnh hay góc đáy (xem bài luyện tập 2).
- Coi mọi đường thẳng đi qua trung điểm là trung trực. Phải có thêm điều kiện vuông góc.
- Dùng định lí đảo mà không ghi lý do. Khi viết bài chứng minh, nêu rõ “vì DA = DB nên D thuộc đường trung trực của AB”.
- Kết luận “tam giác đều” chỉ vì có hai cạnh bằng nhau. Cần thêm một góc 60° hoặc cạnh thứ ba bằng hai cạnh kia.
6. Bài tập tự luyện
- Tam giác ABC cân tại A có góc A = 70°. Tính góc B và góc C.
- Tam giác cân có một góc bằng 50°. Tính hai góc còn lại (xét mọi trường hợp).
- Cho tam giác ABC cân tại A, các điểm D thuộc AB, E thuộc AC sao cho AD = AE. Chứng minh BD = CE.
- Cho tam giác ABC có AB = AC, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC.
Đáp án gợi ý
- Góc B = góc C = (180° − 70°) : 2 = 55°.
- Trường hợp 1: 50° là góc đáy, góc đáy còn lại 50°, góc đỉnh 180° − 100° = 80°. Trường hợp 2: 50° là góc đỉnh, hai góc đáy mỗi góc (180° − 50°) : 2 = 65°.
- D thuộc cạnh AB nên BD = AB − AD; E thuộc cạnh AC nên CE = AC − AE. Mà AB = AC, AD = AE nên BD = CE.
- Hai tam giác vuông AHB và AHC có AB = AC (cạnh huyền) và AH chung nên bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra HB = HC, mà H nằm trên BC nên H là trung điểm của BC.
7. Học tiếp và luyện đề
- Giải SGK Toán 7 Bài 16
- Sách bài tập Toán 7 Bài 16
- Vở thực hành Toán 7 Bài 16
- 20 câu trắc nghiệm Bài 16 có đáp án
- Lý thuyết Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
- Lý thuyết Toán 7 Chương 4: Tam giác bằng nhau
- Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức (cả năm)
Câu hỏi thường gặp
Tam giác cân có những tính chất nào?
Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân. Ngoài ra, trong tam giác cân, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh xuống đáy đồng thời là đường cao, phân giác và trung trực của cạnh đáy.
Đường trung trực của đoạn thẳng là gì?
Đó là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mỗi điểm trên đường này cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng, và ngược lại mỗi điểm cách đều hai mút đều nằm trên nó.
Làm sao chứng minh một tam giác là tam giác đều?
Có ba cách thường dùng: chứng minh ba cạnh bằng nhau; chứng minh ba góc bằng nhau; hoặc chứng minh tam giác cân và có một góc bằng 60°.
Tam giác cân có góc 100° thì góc đó là góc nào?
Góc 100° là góc tù nên chỉ có thể là góc ở đỉnh, vì hai góc ở đáy bằng nhau và luôn là góc nhọn. Khi đó mỗi góc đáy bằng 40°.