Cho mẫu số liệu 21, 22, 23, 24, 25: khoảng tứ phân vị bằng bao nhiêu?

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu 21, 22, 23, 24, 25 là ΔQ = 3. Mẫu có 5 giá trị, trung vị Q2 = 23. Nửa dưới (21; 22) có trung vị Q1 = 21,5; nửa trên (24; 25) có trung vị Q3 = 24,5. Vậy ΔQ = Q3 − Q1 = 24,5 − 21,5 = 3.

Khoảng tứ phân vị của mẫu 21, 22, 23, 24, 25

Trả lời nhanh

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu 21, 22, 23, 24, 25 là Δ_Q = 3. Mẫu có 5 giá trị, trung vị Q₂ = 23. Nửa dưới (21; 22) có trung vị Q₁ = 21,5; nửa trên (24; 25) có trung vị Q₃ = 24,5. Vậy Δ_Q = Q₃ − Q₁ = 24,5 − 21,5 = 3.

Khoảng tứ phân vị là gì?

Khoảng tứ phân vị (kí hiệu Δ_Q) là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: Δ_Q = Q₃ − Q₁. Nó đo độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu, tức khoảng chứa 50% giá trị ở giữa, nên ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hay quá nhỏ.

Cách tính từng bước

Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm. Mẫu đã cho vốn đã được sắp: 21, 22, 23, 24, 25.
Tìm Q₂ (trung vị). Mẫu có n = 5 là số lẻ nên Q₂ là số đứng giữa: Q₂ = 23.
Tìm Q₁. Q₁ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂ (không tính chính Q₂): 21, 22. Trung vị của hai số này là (21 + 22) : 2 = 21,5.
Tìm Q₃. Q₃ là trung vị của nửa bên phải Q₂: 24, 25, nên Q₃ = (24 + 25) : 2 = 24,5.
Tính Δ_Q = 24,5 − 21,5 = 3.

Bảng tóm tắt

Đại lượng	Giá trị	Cách có được
Q₁	21,5	Trung vị của (21; 22)
Q₂	23	Giá trị chính giữa của mẫu
Q₃	24,5	Trung vị của (24; 25)
Δ_Q	3	Q₃ − Q₁

Lưu ý khi số phần tử là số lẻ hay chẵn

n lẻ: Q₂ là số ở giữa; khi chia nửa thì loại bỏ Q₂ khỏi cả hai nửa (đúng như bài này).
n chẵn: Q₂ là trung bình cộng hai số ở giữa; chia mẫu làm hai nửa bằng nhau rồi tìm trung vị mỗi nửa.

Ví dụ n chẵn: mẫu 3, 5, 7, 9, 11, 13. Q₂ = (7 + 9) : 2 = 8; nửa dưới 3, 5, 7 có Q₁ = 5; nửa trên 9, 11, 13 có Q₃ = 11; Δ_Q = 6.

Ý nghĩa của kết quả

Mẫu 21 đến 25 phân bố rất đều, các giá trị cách nhau 1 đơn vị. Δ_Q = 3 nghĩa là nửa số liệu ở giữa nằm trong khoảng cách 3 đơn vị. Khoảng tứ phân vị thường được dùng thay cho khoảng biến thiên (R = max − min) khi mẫu có vài giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ, vì nó chỉ phụ thuộc vào nửa số liệu ở giữa. Với mẫu nhỏ chỉ 5 giá trị như thế này, hai cách đo cho kết quả gần nhau (R = 4 và Δ_Q = 3).

Lỗi sai thường gặp

Giữ lại Q₂ trong mỗi nửa khi n lẻ, dẫn đến Q₁ = 22 và Q₃ = 24, rồi cho Δ_Q = 2. Cách này không theo quy ước trong chương trình phổ thông.
Nhầm khoảng tứ phân vị với khoảng biến thiên (R = 25 − 21 = 4).
Quên sắp xếp mẫu theo thứ tự trước khi tìm tứ phân vị.
Lấy Q₁ − Q₃ nên ra kết quả âm.

Luyện tập

Câu 1. Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.
Đáp án: Q₂ = 8; Q₁ = 4; Q₃ = 12; Δ_Q = 8.

Câu 2. Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu 10, 20, 30, 40.
Đáp án: Q₂ = 25; Q₁ = 15; Q₃ = 35; Δ_Q = 20.

Câu 3. Cho mẫu 1, 3, 5, 7, 9. So sánh khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.
Đáp án: R = 9 − 1 = 8; Q₁ = 2, Q₃ = 8 nên Δ_Q = 6.

Câu hỏi thường gặp

Khoảng tứ phân vị của mẫu 21, 22, 23, 24, 25 là bao nhiêu?

Bằng 3, vì Q1 = 21,5 và Q3 = 24,5 nên hiệu Q3 − Q1 = 3.

Công thức tính khoảng tứ phân vị là gì?

Khoảng tứ phân vị bằng tứ phân vị thứ ba trừ tứ phân vị thứ nhất, kí hiệu ΔQ = Q3 − Q1.

Khi số phần tử là số lẻ thì có tính Q2 vào hai nửa không?

Không. Khi n lẻ, ta bỏ trung vị Q2 ra rồi mới tìm Q1 và Q3 trên mỗi nửa còn lại.

Khoảng tứ phân vị khác khoảng biến thiên ở điểm nào?

Khoảng biến thiên dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nên bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai; khoảng tứ phân vị chỉ xét nửa số liệu ở giữa nên ổn định hơn.