Trả lời nhanh
Căn bậc hai số học của số a không âm là số x không âm sao cho x² = a, kí hiệu √a. Ví dụ √49 = 7, còn căn bậc hai của 49 là 7 và −7. Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn, như √2, √5. Dưới đây là 20 bài tập chia theo 5 dạng, có đáp án và hướng dẫn.
Tóm tắt kiến thức cần nhớ
- Căn bậc hai số học của số a ≥ 0 là số x ≥ 0 thoả mãn x² = a. Kí hiệu √a. Kết quả luôn không âm.
- Số dương a có hai căn bậc hai là √a và −√a. Số 0 chỉ có một căn bậc hai là 0. Số âm không có căn bậc hai.
- Với a ≥ 0: (√a)² = a. Với mọi số a: √(a²) = |a|.
- Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là I.
- Số hữu tỉ và số vô tỉ hợp lại thành tập số thực ℝ. Mỗi số thực ứng với một điểm trên trục số.
- Nếu a, b ≥ 0 và a < b thì √a < √b. Đây là chìa khoá của dạng so sánh.
Mẹo nhớ nhanh
Hãy thuộc bình phương các số từ 1 đến 15 (11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225). Với số thập phân, đếm chữ số sau dấu phẩy: 0,25 = 0,5², 0,0049 = 0,07². Số chữ số thập phân của số dưới căn luôn gấp đôi số chữ số của kết quả.
Một số tự nhiên không phải số chính phương thì căn bậc hai của nó là số vô tỉ. Chẳng hạn √10, √26, √34 đều là số vô tỉ.
Minh hoạ: √2 trên trục số
Vẽ hình vuông cạnh 1 đơn vị trên trục số, đường chéo của nó dài √2 (vì 1² + 1² = 2). Quay đường chéo về trục số bằng compa, ta xác định được điểm biểu diễn √2 ≈ 1,414.
Dạng 1. Nhận biết căn bậc hai và số vô tỉ
Bài 1. Tính: a) √49; b) √0,25; c) √(9/16); d) √169.
Bài 2. Tính: a) √(5²); b) √((−5)²); c) (√7)².
Bài 3. Tìm các căn bậc hai của: a) 81; b) 0,04; c) 25/36.
Bài 4. Trong các số sau, số nào là số vô tỉ? √2; √16; 0,(3); √0,09; √5; 3,14; −√7.
Bài 5. Điền “thuộc” hoặc “không thuộc” vào chỗ trống (ℚ là tập số hữu tỉ): a) √9 … ℚ; b) √10 … ℚ; c) −√(4/9) … ℚ; d) √2 … ℝ.
Dạng 2. Tính giá trị biểu thức chứa căn
Bài 6. Tính A = √81 − √25 + √(1/4).
Bài 7. Tính B = 3·√16 − 2·√49 + 10·√0,01.
Bài 8. Tính C = √0,36 : √0,09.
Bài 9. Tính D = (√13)² − √144 + |−√25|.
Bài 10. So sánh √(3² + 4²) và √(3²) + √(4²).
Dạng 3. So sánh các số thực
Bài 11. So sánh √50 và 7.
Bài 12. So sánh √26 − 1 và 4.
Bài 13. So sánh −√17 và −4.
Bài 14. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 3; √10; −√5; 2,5; √7.
Dạng 4. Tìm x
Bài 15. Tìm x biết x² = 169.
Bài 16. Tìm x biết (x − 1)² = 16.
Bài 17. Tìm x ≥ 0 biết 2√x − 1 = 7.
Dạng 5. Làm tròn, ước lượng và bài toán thực tế
Bài 18. Dùng máy tính cầm tay, làm tròn √3 và √7 đến hàng phần trăm.
Bài 19. Một mảnh vườn hình vuông có diện tích 144 m². Người ta rào xung quanh vườn, tiền công và vật liệu là 30 000 đồng mỗi mét. Tính cạnh mảnh vườn và tổng chi phí.
Bài 20. Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài 3 cm và 5 cm. Tính độ dài cạnh huyền (làm tròn đến hàng phần trăm) và cho biết đó là số hữu tỉ hay vô tỉ.
Đáp án và hướng dẫn giải
Dạng 1
- a) 7 (vì 7² = 49); b) 0,5 (0,5² = 0,25); c) 3/4; d) 13.
- a) 5; b) √25 = 5 (kết quả luôn không âm, không phải −5); c) 7.
- a) 9 và −9; b) 0,2 và −0,2; c) 5/6 và −5/6.
- Số vô tỉ: √2, √5, −√7. Các số còn lại là hữu tỉ vì √16 = 4; 0,(3) = 1/3; √0,09 = 0,3; 3,14 = 314/100.
- a) thuộc (√9 = 3); b) không thuộc (10 không là số chính phương); c) thuộc (−√(4/9) = −2/3); d) thuộc (mọi số vô tỉ đều là số thực).
Dạng 2
- A = 9 − 5 + 0,5 = 4,5.
- B = 3·4 − 2·7 + 10·0,1 = 12 − 14 + 1 = −1.
- C = 0,6 : 0,3 = 2.
- D = 13 − 12 + 5 = 6. Chú ý |−√25| = 5.
- √(3² + 4²) = √25 = 5; còn √(3²) + √(4²) = 3 + 4 = 7. Vậy 5 < 7. Căn của một tổng không bằng tổng các căn.
Dạng 3
- 7 = √49 và 50 > 49 nên √50 > 7.
- 25 < 26 nên √26 > 5, suy ra √26 − 1 > 4.
- √17 > √16 = 4. Nhân hai vế với −1 thì đổi chiều: −√17 < −4.
- Ta có √5 ≈ 2,24; √7 ≈ 2,65; √10 ≈ 3,16. Thứ tự tăng dần: −√5 < 2,5 < √7 < 3 < √10.
Dạng 4
- x = 13 hoặc x = −13 (vì 13² = (−13)² = 169).
- x − 1 = 4 hoặc x − 1 = −4. Suy ra x = 5 hoặc x = −3.
- 2√x = 8 nên √x = 4, do đó x = 16 (thoả điều kiện x ≥ 0).
Dạng 5
- √3 = 1,7320508… ≈ 1,73; √7 = 2,6457513… ≈ 2,65 (chữ số thứ ba là 5 nên làm tròn lên).
- Cạnh vườn là √144 = 12 m. Chu vi 4·12 = 48 m. Chi phí 48·30 000 = 1 440 000 đồng.
- Cạnh huyền c thoả c² = 3² + 5² = 34, nên c = √34 ≈ 5,83 cm. Vì 34 không là số chính phương nên √34 là số vô tỉ.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm “căn bậc hai” với “căn bậc hai số học”. √16 = 4 (một giá trị), nhưng 16 có hai căn bậc hai là 4 và −4.
- Viết √(a²) = a. Đúng phải là |a|. Ví dụ √((−5)²) = 5.
- Tách √(a + b) = √a + √b. Bài 10 là phản ví dụ rõ ràng.
- So sánh sai khi có dấu trừ. Với hai số âm, số có căn lớn hơn thì nhỏ hơn (Bài 13).
- Quên điều kiện x ≥ 0 khi giải phương trình dạng √x = a.
- Làm tròn sớm. Chỉ làm tròn ở bước cuối, nếu không kết quả sẽ lệch.
Cách tự luyện hiệu quả
- Làm lần lượt từng dạng, chưa nhìn đáp án, rồi mới đối chiếu.
- Bài sai thì ghi rõ vì sao sai thuộc lỗi nào ở mục trên.
- Sau một tuần, làm lại các bài đã sai, đặc biệt Bài 10, 13 và 16.
- Tự đặt một đề tương tự bằng cách đổi số trong bài, ví dụ thay 169 bằng 225 ở Bài 15.
Câu hỏi thường gặp
Căn bậc hai và căn bậc hai số học khác nhau thế nào?
Số dương a có hai căn bậc hai là √a và −√a. Căn bậc hai số học chỉ là giá trị không âm √a. Vì vậy √25 = 5, còn các căn bậc hai của 25 là 5 và −5.
Làm sao biết một căn thức là số vô tỉ?
Nếu số dưới căn là số tự nhiên không chính phương (như 2, 3, 5, 10, 34) thì căn của nó là số vô tỉ. Nếu số dưới căn là bình phương của một số hữu tỉ (như 0,09 hay 4/9) thì căn là số hữu tỉ.
Số âm có căn bậc hai không?
Trong chương trình Toán 7, số âm không có căn bậc hai vì bình phương của mọi số thực đều không âm. Do đó √(−4) không có nghĩa.
Khi so sánh số có căn, nên làm thế nào?
Đưa số nguyên về dạng căn (ví dụ 7 = √49) rồi so sánh các số dưới căn, hoặc kẹp căn giữa hai số chính phương liên tiếp. Với số âm, nhớ đổi chiều bất đẳng thức.