Trả lời nhanh
Để tìm bất phương trình, em làm bốn bước: viết phương trình đường thẳng d từ hai điểm trên hình; vì “kể cả bờ” nên dùng dấu ≤ hoặc ≥; chọn một điểm thử không nằm trên d; rồi xét điểm đó có thuộc miền không gạch chéo hay không để chọn dấu. Ví dụ d: x + y = 2 và gốc O thuộc miền không gạch thì bất phương trình là x + y ≤ 2.
Đọc hình: “gạch chéo” và “bờ d” nghĩa là gì?
Trong bài về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, đường thẳng d chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng. Phần bị gạch chéo là phần loại bỏ, không chứa nghiệm. Phần để trắng (không gạch chéo) là miền nghiệm. Đường thẳng d được gọi là bờ của miền nghiệm.
- Bờ vẽ nét liền hoặc đề nói “kể cả bờ”: các điểm trên d là nghiệm, ta dùng dấu ≤ hoặc ≥.
- Bờ vẽ nét đứt: không kể bờ, ta dùng dấu < hoặc >.
Chú ý: hình trong đề của em có thể khác với ví dụ dưới đây, nhưng cách làm là hoàn toàn giống nhau. Em chỉ cần thay số theo đường thẳng d trong hình của mình.
Bốn bước giải
- Viết phương trình d. Đọc hai điểm trên d từ hình. Nếu d cắt hai trục tại A(a; 0) và B(0; b) thì d: x/a + y/b = 1, tức b·x + a·y = a·b. Nếu d song song một trục thì phương trình là x = c hoặc y = c.
- Xác định dấu “có bằng” hay không. “Kể cả bờ” nên chọn ≤ hoặc ≥.
- Chọn điểm thử. Thường chọn gốc O(0; 0) nếu O không nằm trên d; nếu d đi qua O thì chọn điểm khác như (1; 0) hoặc (0; 1).
- Xác định dấu. Thay toạ độ điểm thử vào vế trái. Nếu điểm thử thuộc miền không gạch chéo thì bất đẳng thức tại điểm đó phải đúng; nếu điểm thử bị gạch chéo thì đổi chiều dấu.
Ví dụ 1: Có hình minh hoạ
Đường thẳng d đi qua A(2; 0) và B(0; 2). Phần gạch chéo nằm ở phía không chứa gốc O.
Bước 1. d cắt hai trục tại (2; 0) và (0; 2) nên d: x + y = 2.
Bước 2. Kể cả bờ, nên dùng ≤ hoặc ≥.
Bước 3. Chọn O(0; 0): thay vào x + y được 0.
Bước 4. O thuộc miền không gạch chéo và 0 ≤ 2 là đúng. Vậy bất phương trình cần tìm là x + y ≤ 2.
Ví dụ 2: Bờ cắt hai trục ở hai phía
Đường thẳng d đi qua (−1; 0) và (0; 2). Phần gạch chéo là phía chứa gốc O.
Phương trình d: x/(−1) + y/2 = 1, nhân hai vế với 2 được −2x + y = 2, hay 2x − y + 2 = 0. Thay O vào vế trái được 2 > 0. Vì O bị gạch chéo (bị loại) nên miền nghiệm là phía ngược lại, với 2x − y + 2 ≤ 0. Kiểm tra bằng điểm (−2; 0) thuộc phía không gạch: 2·(−2) − 0 + 2 = −2 ≤ 0, đúng.
Ví dụ 3: Bờ đi qua gốc toạ độ
Đường thẳng d đi qua O và (1; 1) nên d: x − y = 0. Không dùng được O làm điểm thử. Chọn điểm (1; 0): x − y = 1 > 0. Nếu (1; 0) thuộc miền không gạch chéo thì bất phương trình là x − y ≥ 0; nếu (1; 0) bị gạch chéo thì là x − y ≤ 0.
Lỗi sai thường gặp
- Hiểu nhầm phần gạch chéo là miền nghiệm. Thực tế đó là phần loại bỏ.
- Dùng dấu < hoặc > khi đề nói “kể cả bờ”.
- Chọn O làm điểm thử khi O nằm trên d, dẫn đến kết quả 0 so với 0 không phân biệt được.
- Viết sai phương trình d vì nhầm toạ độ giao điểm với các trục.
Bài luyện tập có đáp án
- d đi qua (3; 0) và (0; 3), gốc O thuộc miền không gạch chéo, kể cả bờ. Đáp án: x + y ≤ 3.
- d: y = 1 vẽ nét liền, phần gạch chéo là phía trên đường thẳng. Đáp án: miền nghiệm là phía dưới, y ≤ 1.
- d đi qua (2; 0) và (0; −2), O bị gạch chéo, kể cả bờ. Đáp án: d: x − y = 2; tại O có 0 < 2 nhưng O bị loại nên miền nghiệm là x − y ≥ 2.
Câu hỏi thường gặp
Miền không gạch chéo là miền nghiệm hay miền loại bỏ?
Miền không gạch chéo là miền nghiệm. Phần gạch chéo là phần bị loại bỏ.
Kể cả bờ d thì dùng dấu nào?
Dùng dấu ≤ hoặc ≥, vì các điểm trên đường thẳng d cũng là nghiệm của bất phương trình.
Nếu d đi qua gốc toạ độ thì chọn điểm thử nào?
Chọn một điểm không nằm trên d, ví dụ (1; 0) hoặc (0; 1), rồi xét điểm đó thuộc miền nào.
Làm sao viết phương trình đường thẳng d từ hình vẽ?
Đọc hai điểm thuộc d. Nếu d cắt hai trục tại (a; 0) và (0; b) thì d: x/a + y/b = 1.