Trả lời nhanh
Miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + y − 4 ≤ 0 là tam giác OAB với O(0; 0), A(4; 0), B(0; 4), kể cả ba cạnh. Đó là phần giao của nửa mặt phẳng bên phải trục Oy, nửa mặt phẳng phía trên trục Ox và nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x + y = 4 chứa gốc tọa độ O.
Bốn bước biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
- Vẽ đường thẳng biên cho từng bất phương trình (đổi dấu bất đẳng thức thành dấu “=”).
- Lấy một điểm thử không nằm trên đường biên, thường là gốc O(0; 0), thay vào bất phương trình.
- Nếu bất đẳng thức đúng thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm thử, nếu sai thì lấy nửa còn lại.
- Lấy giao của tất cả các nửa mặt phẳng, tô đậm phần chung đó.
Chú ý quy ước nét vẽ: dấu ≤ hoặc ≥ thì đường biên thuộc miền nghiệm (nét liền); dấu < hoặc > thì đường biên không thuộc miền nghiệm (nét đứt).
Lời giải chi tiết
Hệ bất phương trình: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y − 4 ≤ 0.
- x ≥ 0: biên là trục Oy (đường x = 0). Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải trục Oy, kể cả trục Oy.
- y ≥ 0: biên là trục Ox (đường y = 0). Miền nghiệm là nửa mặt phẳng phía trên trục Ox, kể cả trục Ox.
- x + y − 4 ≤ 0: biên là đường thẳng d: x + y = 4, đi qua A(4; 0) và B(0; 4). Thay O(0; 0): 0 + 0 − 4 = −4 ≤ 0 là đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc O, kể cả đường d.
Giao của ba nửa mặt phẳng này là tam giác OAB kể cả biên.
Kiểm tra bằng điểm thử
| Điểm | x ≥ 0 | y ≥ 0 | x + y − 4 ≤ 0 | Kết luận |
|---|---|---|---|---|
| (1; 1) | đúng | đúng | −2 ≤ 0 đúng | Thuộc miền nghiệm |
| (2; 2) | đúng | đúng | 0 ≤ 0 đúng | Thuộc miền nghiệm (nằm trên cạnh AB) |
| (3; 3) | đúng | đúng | 2 ≤ 0 sai | Không thuộc miền nghiệm |
| (−1; 2) | sai | đúng | −3 ≤ 0 đúng | Không thuộc miền nghiệm |
Ứng dụng: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền nghiệm
Khi miền nghiệm là một đa giác lồi, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức dạng F = ax + by đạt tại các đỉnh của đa giác. Với F = x + 2y trên tam giác OAB:
- Tại O(0; 0): F = 0.
- Tại A(4; 0): F = 4.
- Tại B(0; 4): F = 8.
Vậy F lớn nhất bằng 8 tại B(0; 4) và nhỏ nhất bằng 0 tại O(0; 0). Đây là cách giải các bài toán quy hoạch tuyến tính đơn giản như tối ưu chi phí, lợi nhuận.
Diện tích miền nghiệm cũng dễ tính: tam giác OAB vuông tại O có hai cạnh góc vuông bằng 4, nên diện tích S = 1/2 · 4 · 4 = 8 (đơn vị diện tích).
Nếu đề thay đổi dấu thì sao?
- Nếu là x + y − 4 < 0: cạnh AB vẽ nét đứt, không thuộc miền nghiệm. Các điểm trên hai trục vẫn thuộc miền vì x ≥ 0 và y ≥ 0 có dấu bằng.
- Nếu là x + y − 4 ≥ 0: thử O thấy sai, nên lấy nửa mặt phẳng không chứa O. Giao với góc phần tư thứ nhất cho miền không bị chặn nằm phía trên và bên phải đường AB.
Lỗi sai thường gặp
- Chọn điểm thử nằm ngay trên đường biên, khi đó vế trái bằng 0 và không kết luận được.
- Quên nét vẽ đứt hay liền, dẫn đến sai việc biên có thuộc miền hay không.
- Chỉ xét một bất phương trình rồi kết luận, trong khi miền nghiệm của hệ phải thỏa mãn đồng thời tất cả.
- Vẽ đường biên sai vì tìm sai giao điểm với hai trục. Em nên luôn cho x = 0 để tìm y và cho y = 0 để tìm x.
Bài luyện tập có đáp án
- Biểu diễn miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6 và tính diện tích miền.
Đáp án: tam giác với đỉnh O(0; 0), (6; 0), (0; 3); diện tích 1/2 · 6 · 3 = 9. - Hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 3, y ≤ 2 có miền nghiệm là hình gì?
Đáp án: hình chữ nhật có bốn đỉnh (0; 0), (3; 0), (3; 2), (0; 2), diện tích 6. - Điểm (2; 1) có thuộc miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + y − 4 ≤ 0 không?
Đáp án: có, vì 2 ≥ 0, 1 ≥ 0 và 2 + 1 − 4 = −1 ≤ 0.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao chọn điểm thử khi biểu diễn miền nghiệm?
Chọn một điểm không nằm trên đường thẳng biên, thường là gốc tọa độ O(0; 0) vì phép tính đơn giản. Nếu đường biên đi qua O thì chọn điểm khác như (1; 0) hoặc (0; 1).
Khi nào vẽ đường biên nét đứt?
Khi bất phương trình có dấu nhỏ hơn hoặc lớn hơn hẳn (), vì các điểm trên biên không thỏa mãn. Với dấu ≤ hoặc ≥ thì vẽ nét liền.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là gì?
Là tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn đồng thời mọi bất phương trình trong hệ, tức giao của các nửa mặt phẳng nghiệm.
Cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trên miền nghiệm?
Xác định tọa độ các đỉnh của miền đa giác, thay vào biểu thức rồi so sánh. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất đạt tại các đỉnh.