Trả lời nhanh
Kết quả: 6/73 < 9/82. Cách nhanh nhất là quy đồng tử số: 6/73 = 18/219 và 9/82 = 18/164. Hai phân số dương có cùng tử 18, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn; vì 219 > 164 nên 18/219 < 18/164, tức 6/73 < 9/82. Nhân chéo cũng cho cùng kết luận: 6 · 82 = 492 < 9 · 73 = 657.
Đề bài
So sánh hai số hữu tỉ 6/73 và 9/82.
Cả hai phân số đều có tử và mẫu dương, nên đây là hai số hữu tỉ dương. Mẫu số 73 và 82 khác nhau, tử số 6 và 9 cũng khác nhau, vì vậy em không so sánh trực tiếp được mà phải đưa về cùng mẫu, cùng tử hoặc dùng số trung gian. Dưới đây là bốn cách giải, em chọn cách phù hợp nhất với dạng bài của mình.
Cách 1: Quy đồng mẫu số
Số 73 là số nguyên tố, còn 82 = 2 · 41. Hai số này không có ước chung nào lớn hơn 1, nên mẫu số chung nhỏ nhất là 73 · 82 = 5986.
- 6/73 = (6 · 82)/(73 · 82) = 492/5986
- 9/82 = (9 · 73)/(82 · 73) = 657/5986
Hai phân số cùng mẫu dương 5986, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn. Vì 492 < 657 nên 492/5986 < 657/5986.
Kết luận: 6/73 < 9/82.
Cách này luôn dùng được, nhưng khi mẫu số lớn thì phép nhân khá dài và dễ tính sai. Với cặp số này, cách 2 gọn hơn nhiều.
Cách 2: Quy đồng tử số (cách ngắn nhất)
Tử số 6 và 9 có bội chung nhỏ nhất là 18. Ta nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với cùng một số để tử bằng 18:
- 6/73 = (6 · 3)/(73 · 3) = 18/219
- 9/82 = (9 · 2)/(82 · 2) = 18/164
Với hai phân số dương có cùng tử số dương, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn (chia 18 phần cho ít người hơn thì mỗi phần to hơn). Vì 219 > 164 nên 18/219 < 18/164.
Kết luận: 6/73 < 9/82.
Dấu hiệu để chọn cách này: hai tử số nhỏ và dễ tìm bội chung, còn hai mẫu số lớn. Trong đề này, tử 6 và 9 chỉ cần nhân với 3 và 2, nên tính nhẩm được ngay.
Cách 3: Nhân chéo
Với b > 0 và d > 0, ta có quy tắc: a/b < c/d khi và chỉ khi a · d < b · c. Thực chất đây là cách 1 viết gọn, vì a · d và b · c chính là hai tử số sau khi quy đồng mẫu b · d.
Áp dụng: 6 · 82 = 492 và 73 · 9 = 657. Vì 492 < 657 nên 6/73 < 9/82.
Quy tắc nhân chéo chỉ dùng trực tiếp khi hai mẫu đều dương. Nếu đề cho mẫu âm, ví dụ 6/(−73), em phải đổi về mẫu dương trước: 6/(−73) = −6/73.
Cách 4: So sánh qua số trung gian
Ý tưởng là tìm một số nằm giữa hai phân số. Quan sát: 73 gần 72 = 6 · 12, còn 82 nhỏ hơn 90 = 9 · 10.
- 6/73 < 6/72 = 1/12 (cùng tử, mẫu 73 lớn hơn mẫu 72).
- 9/82 > 9/90 = 1/10 (cùng tử, mẫu 82 nhỏ hơn mẫu 90).
- 1/12 < 1/10 (cùng tử 1, mẫu 12 lớn hơn).
Ghép lại: 6/73 < 1/12 < 1/10 < 9/82, suy ra 6/73 < 9/82.
Chú ý: không phải số trung gian nào cũng dùng được. Nhiều bạn chọn 9/73: đúng là 6/73 < 9/73, nhưng 9/73 lại lớn hơn 9/82, nên từ hai bất đẳng thức này không rút ra được kết luận gì. Số trung gian phải lớn hơn số bé và nhỏ hơn số lớn.
Đổi ra số thập phân cũng kiểm tra được: 6/73 ≈ 0,0822 và 9/82 ≈ 0,1098. Tuy nhiên trong bài tự luận, em nên trình bày bằng một trong bốn cách trên để lời giải chặt chẽ, chỉ dùng số thập phân để tự kiểm tra.
Mở rộng: so sánh −6/73 và −9/82
Một số đề cho hai số âm. Với hai số âm, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì nhỏ hơn. Ta đã có 6/73 < 9/82, nên khi đổi dấu cả hai vế thì chiều bất đẳng thức đổi ngược: −6/73 > −9/82.
Nếu một số dương và một số âm, ví dụ 6/73 và −9/82, thì không cần tính: mọi số hữu tỉ dương đều lớn hơn mọi số hữu tỉ âm, nên 6/73 > −9/82.
Kiến thức cần nhớ khi so sánh số hữu tỉ
| Tình huống | Cách làm nhanh |
|---|---|
| Khác dấu | Số dương luôn lớn hơn số âm; số 0 nằm giữa. |
| Cùng mẫu dương | Tử lớn hơn thì phân số lớn hơn. |
| Cùng tử dương, mẫu dương | Mẫu nhỏ hơn thì phân số lớn hơn. |
| Tử nhỏ, mẫu lớn | Quy đồng tử số. |
| Mẫu nhỏ, dễ nhân | Quy đồng mẫu số hoặc nhân chéo. |
| Phân số gần 1 | So sánh phần bù tới 1, ví dụ 1 − a/b. |
| Hai số âm | So sánh giá trị tuyệt đối rồi đổi chiều. |
Trước khi so sánh, em nên rút gọn phân số (nếu được) và đưa mẫu về số dương. Cả hai phân số trong đề đều đã tối giản: ƯCLN(6; 73) = 1 và ƯCLN(9; 82) = 1.
Lỗi thường gặp
- Cho rằng “mẫu lớn hơn thì phân số nhỏ hơn” trong mọi trường hợp. Quy tắc này chỉ đúng khi hai phân số có cùng tử dương.
- Nhân chéo khi mẫu còn âm, dẫn đến kết luận ngược chiều.
- Chọn số trung gian không nằm giữa hai số, như ví dụ 9/73 ở trên.
- Tính sai tích khi quy đồng mẫu. Em nên kiểm tra lại: 73 · 82 = 73 · 80 + 73 · 2 = 5840 + 146 = 5986.
Bài tập tự luyện (có đáp án)
Bài 1. So sánh 7/23 và 11/37.
Đáp án: 7 · 37 = 259 > 23 · 11 = 253, nên 7/23 > 11/37.
Bài 2. So sánh −5/17 và −7/24.
Đáp án: So sánh giá trị tuyệt đối: 5 · 24 = 120 > 17 · 7 = 119, nên 5/17 > 7/24. Đổi chiều với số âm: −5/17 < −7/24.
Bài 3. So sánh 2023/2024 và 2024/2025.
Đáp án: Phần bù tới 1 lần lượt là 1/2024 và 1/2025. Vì 1/2024 > 1/2025 nên phân số thứ nhất xa 1 hơn, do đó 2023/2024 < 2024/2025.
Bài 4. So sánh 13/38 và 29/88.
Đáp án: 13 · 88 = 1144 > 38 · 29 = 1102, nên 13/38 > 29/88.
Bài 5. So sánh 4/9 và 12/27.
Đáp án: Rút gọn 12/27 = 4/9, nên hai số bằng nhau. Đây là lí do em nên rút gọn trước khi so sánh.
Câu hỏi thường gặp
6/73 và 9/82 số nào lớn hơn?
9/82 lớn hơn. Quy đồng tử được 6/73 = 18/219 và 9/82 = 18/164; cùng tử thì mẫu nhỏ hơn cho phân số lớn hơn.
Khi nào nên quy đồng tử số thay vì mẫu số?
Khi hai tử số nhỏ, dễ tìm bội chung còn hai mẫu số lớn. Lúc đó quy đồng tử cho phép tính ngắn hơn nhiều.
Quy tắc nhân chéo để so sánh phân số là gì?
Với hai mẫu dương b và d, a/b < c/d khi và chỉ khi a·d < b·c. Nếu có mẫu âm, phải đổi về mẫu dương trước.
So sánh −6/73 và −9/82 thế nào?
Vì 6/73 −9/82.