Viết tập hợp các ước chung của 12 và 8 – Lý thuyết ƯC, ƯCLN Toán 6
Lớp 6ToánCánh Diều

Viết tập hợp các ước chung của 12 và 8 – Lý thuyết ƯC, ƯCLN Toán 6

Trả lời nhanh

Các ước của 12 là 1, 2, 3, 4, 6, 12; các ước của 8 là 1, 2, 4, 8. Những số xuất hiện ở cả hai danh sách là 1, 2, 4. Vậy ƯC(12, 8) = {1; 2; 4}, và số lớn nhất trong tập này là 4 nên ƯCLN(12, 8) = 4. Mọi ước chung của hai số đều là ước của ƯCLN.

Cách viết tập hợp các ước chung của 12 và 8

Muốn viết tập hợp ước chung của hai số, em làm theo ba bước rất ngắn gọn:

  1. Bước 1: Liệt kê tất cả các ước của số thứ nhất. Ước của 12 là: 1; 2; 3; 4; 6; 12.
  2. Bước 2: Liệt kê tất cả các ước của số thứ hai. Ước của 8 là: 1; 2; 4; 8.
  3. Bước 3: Chọn những số có mặt ở cả hai danh sách, rồi viết trong dấu ngoặc nhọn: ƯC(12, 8) = {1; 2; 4}.

Để liệt kê ước không bị sót, em thử chia lần lượt từ 1 trở đi và ghi theo cặp: 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4; còn 8 = 1 × 8 = 2 × 4. Mỗi cặp cho ta hai ước cùng lúc.

Sơ đồ Venn các ước của 12 và 8, phần giao gồm 1, 2, 4
Sơ đồ Venn: phần giao của ước của 12 và ước của 8 chính là tập ước chung {1; 2; 4}.

Nhìn sơ đồ, em thấy phần giao của hai vòng tròn chính là tập ước chung. Các số 3, 6, 12 chỉ là ước của 12, còn số 8 chỉ là ước của 8 nên không được tính vào ƯC.

Lý thuyết ước chung và ước chung lớn nhất (Toán 6 Cánh diều)

1. Ước chung (ƯC)

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a, vừa là ước của b. Tập hợp các ước chung của a và b kí hiệu là ƯC(a, b).

Với ba số a, b, c thì n là ước chung nếu n là ước của cả ba số. Ví dụ 7 là ước chung của 14, 21, 49 vì cả ba số đều chia hết cho 7.

2. Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Ước chung lớn nhất của a và b là số lớn nhất trong tập ƯC(a, b), kí hiệu ƯCLN(a, b). Với bài trên: ƯC(12, 8) = {1; 2; 4} nên ƯCLN(12, 8) = 4.

3. Tìm ước chung khi biết ƯCLN

Ước chung của hai số chính là các ước của ƯCLN của chúng. Nhờ vậy, khi đã có ƯCLN, em không cần liệt kê ước của từng số nữa.

Ví dụ: ƯCLN(12, 8) = 4, các ước của 4 là 1, 2, 4 nên ƯC(12, 8) = {1; 2; 4}. Kết quả trùng với cách làm ở trên.

Ví dụ khác: Biết ƯCLN(a, b) = 30. Các ước của 30 là 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Vậy ước chung có hai chữ số của a và b là 10, 15, 30.

Tìm ƯCLN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố

Khi các số lớn, liệt kê ước rất mất thời gian. Lúc đó ta dùng bốn bước sau:

  1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
  2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
  3. Với mỗi thừa số chung, lấy lũy thừa có số mũ nhỏ nhất.
  4. Nhân các lũy thừa đã chọn với nhau, tích đó là ƯCLN.

Mẹo nhớ: “Chung thì lấy, mũ nhỏ nhất”. Còn bội chung nhỏ nhất (bài sau) thì ngược lại: lấy cả chung lẫn riêng, mũ lớn nhất.

Ví dụ 1: Tìm ƯCLN(12, 8) bằng thừa số nguyên tố

12 = 22 · 3 và 8 = 23. Thừa số chung chỉ có 2, số mũ nhỏ nhất là 2. Vậy ƯCLN(12, 8) = 22 = 4. Cách này cho cùng kết quả với cách liệt kê.

Ví dụ 2: Tìm ƯCLN(54, 90)

54 = 2 · 33; 90 = 2 · 32 · 5. Thừa số chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, của 3 là 2. Vậy ƯCLN(54, 90) = 2 · 32 = 18.

Ví dụ 3: Tìm ƯCLN(84, 126) rồi viết ƯC

84 = 22 · 3 · 7; 126 = 2 · 32 · 7. Chọn 2 (mũ nhỏ nhất là 1), 3 (mũ nhỏ nhất là 1), 7 (mũ 1). ƯCLN(84, 126) = 2 · 3 · 7 = 42. Các ước của 42 là 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42, nên ƯC(84, 126) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}.

Hai trường hợp đặc biệt

  • Nếu hai số không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN bằng 1.
  • Nếu a chia hết cho b thì ƯCLN(a, b) = b. Chẳng hạn ƯCLN(48, 16) = 16.

Hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản

Hai số có ƯCLN bằng 1 gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. Ví dụ ƯCLN(14, 33) = 1 nên 14 và 33 nguyên tố cùng nhau. Lưu ý: hai số nguyên tố cùng nhau không nhất thiết là số nguyên tố, như 14 và 33 đều là hợp số.

Phân số có tử và mẫu nguyên tố cùng nhau gọi là phân số tối giản. Muốn rút gọn một phân số về tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của chúng. Chẳng hạn, ƯCLN(12, 8) = 4 nên 12/8 = (12 : 4)/(8 : 4) = 3/2.

Bài toán thực tế dùng ƯCLN

Nhận biết dạng bài: đề hỏi “chia thành nhiều phần bằng nhau nhất”, “cạnh lớn nhất của viên gạch”, “số nhóm nhiều nhất”… thì thường là ƯCLN.

Bài toán. Một căn phòng hình chữ nhật dài 720 cm, rộng 540 cm. Muốn lát kín bằng gạch hình vuông, không cắt viên nào. Hỏi cạnh viên gạch lớn nhất là bao nhiêu? (Số liệu tự đặt.)

Giải. Gọi x (cm) là cạnh viên gạch. Để không phải cắt gạch thì 720 ⋮ x và 540 ⋮ x, tức x ∈ ƯC(720, 540). x lớn nhất nên x = ƯCLN(720, 540). Ta có 720 = 24 · 32 · 5 và 540 = 22 · 33 · 5, nên ƯCLN = 22 · 32 · 5 = 180. Vậy viên gạch có cạnh lớn nhất là 180 cm.

Lỗi sai thường gặp

  • Quên số 1 khi liệt kê ước. Số 1 là ước của mọi số tự nhiên nên luôn thuộc ƯC.
  • Lấy số mũ lớn nhất thay vì nhỏ nhất. Với 12 và 8, nếu lấy 23 = 8 thì sai vì 12 không chia hết cho 8.
  • Lấy cả thừa số không chung (như thừa số 3 của 12). Thừa số đó không có trong 8 nên bị loại.
  • Nhầm ƯC với ƯCLN: ƯC là một tập hợp, viết trong ngoặc nhọn; ƯCLN là một số.
  • Kết luận “ƯCLN = 1 nghĩa là không có ước chung”. Thực ra vẫn có ước chung là 1.

Bài luyện tập có đáp án

Bài 1. Viết tập hợp ƯC(18, 24) và tìm ƯCLN(18, 24).

Đáp án: Ước của 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Ước của 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Vậy ƯC(18, 24) = {1; 2; 3; 6}, ƯCLN(18, 24) = 6.

Bài 2. Rút gọn phân số 45/60 về phân số tối giản.

Đáp án: 45 = 32 · 5; 60 = 22 · 3 · 5, nên ƯCLN(45, 60) = 3 · 5 = 15. Vậy 45/60 = 3/4.

Bài 3. Hai số 35 và 48 có nguyên tố cùng nhau không?

Đáp án: 35 = 5 · 7; 48 = 24 · 3. Không có thừa số chung nên ƯCLN(35, 48) = 1. Hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 4. Có 48 chiếc bút và 36 quyển vở. Cô giáo muốn chia thành nhiều phần quà nhất sao cho số bút và số vở ở mỗi phần như nhau. Chia được tối đa bao nhiêu phần, mỗi phần có mấy bút, mấy vở?

Đáp án: Số phần quà là ước chung của 48 và 36, nhiều nhất nên bằng ƯCLN(48, 36). 48 = 24 · 3; 36 = 22 · 32, nên ƯCLN = 22 · 3 = 12. Chia được 12 phần, mỗi phần có 48 : 12 = 4 bút và 36 : 12 = 3 vở.

Bài 5. Tìm ƯCLN(24, 36, 60).

Đáp án: 24 = 23 · 3; 36 = 22 · 32; 60 = 22 · 3 · 5. Thừa số chung ở cả ba số là 2 và 3; mũ nhỏ nhất lần lượt là 2 và 1. Vậy ƯCLN = 22 · 3 = 12.

Xem thêm các bài cùng chương

  • Giải SGK Toán 6 Bài 12 (Cánh diều): Ước chung và ước chung lớn nhất
  • Sách bài tập Toán 6 Bài 12 (Cánh diều)
  • 22 câu trắc nghiệm Ước chung và ước chung lớn nhất (Cánh diều)
  • Lý thuyết Bài 11: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
  • Lý thuyết Bài 13: Bội chung và bội chung nhỏ nhất
  • Tổng hợp lý thuyết Toán 6 – Cánh diều

Câu hỏi thường gặp

Tập hợp các ước chung của 12 và 8 là gì?

ƯC(12, 8) = {1; 2; 4}. Ước của 12 là 1, 2, 3, 4, 6, 12; ước của 8 là 1, 2, 4, 8; các số có mặt ở cả hai tập là 1, 2, 4.

ƯCLN của 12 và 8 bằng bao nhiêu?

ƯCLN(12, 8) = 4, vì 4 là số lớn nhất trong tập ước chung {1; 2; 4}. Cũng có thể tính qua thừa số nguyên tố: 12 = 2² · 3, 8 = 2³, lấy 2² = 4.

Làm sao tìm ước chung khi đã biết ƯCLN?

Ước chung của hai số chính là các ước của ƯCLN. Ví dụ ƯCLN(12, 8) = 4 nên ƯC(12, 8) gồm các ước của 4 là 1, 2, 4.

Khi nào hai số là nguyên tố cùng nhau?

Khi ƯCLN của chúng bằng 1, tức là chúng chỉ có chung ước là 1. Ví dụ 14 và 33 nguyên tố cùng nhau. Hai số này không nhất thiết phải là số nguyên tố.

Bài học liên quan