Trả lời nhanh
Nghiệm của phương trình cos x = 1/2 là x = π/3 + k2π hoặc x = −π/3 + k2π, viết gọn là x = ±π/3 + k2π (k ∈ Z). Lý do: 1/2 = cos(π/3), nên cos x = cos(π/3) ⇔ x = ±π/3 + k2π. Trên đường tròn lượng giác có hai điểm cùng hoành độ 1/2, đối xứng nhau qua trục hoành.
Cách giải từng bước
Phương trình dạng cos x = m với |m| ≤ 1 luôn có nghiệm. Với m = 1/2, ta làm như sau:
- Đưa về cùng hàm cos: nhận ra 1/2 = cos(π/3).
- Viết lại phương trình: cos x = cos(π/3).
- Áp dụng công thức: cos u = cos v ⇔ u = v + k2π hoặc u = −v + k2π (k ∈ Z).
- Kết luận: x = π/3 + k2π hoặc x = −π/3 + k2π.
Nếu dùng arccos: x = ±arccos(1/2) + k2π = ±π/3 + k2π. Hai cách cho cùng kết quả.
Vì sao có hai họ nghiệm? Nhìn trên đường tròn lượng giác
Cosin của góc x chính là hoành độ của điểm biểu diễn x trên đường tròn lượng giác. Muốn cos x = 1/2, ta kẻ đường thẳng đứng đi qua điểm có hoành độ 1/2. Đường này cắt đường tròn tại hai điểm M và N.
Điểm M ứng với góc π/3, điểm N ứng với góc −π/3 (hay 5π/3). Mỗi lần quay thêm một vòng 2π thì ta quay lại đúng điểm cũ, nên thêm k2π vào cả hai họ.
Dạng độ và bảng giá trị cần nhớ
Nếu đề cho theo độ: cos x = 1/2 ⇔ x = ±60° + k360°.
| Góc x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
Mẹo nhớ: cos của 0, π/6, π/4, π/3, π/2 lần lượt là √4/2, √3/2, √2/2, √1/2, √0/2, tức 1; √3/2; √2/2; 1/2; 0. Góc càng lớn, cos càng nhỏ.
Tìm nghiệm trong một khoảng cho trước
Đề thường hỏi nghiệm thuộc một đoạn. Ta cho k chạy các giá trị nguyên rồi chọn nghiệm nằm trong khoảng.
- Trong [0; 2π]: x = π/3 và x = 5π/3.
- Trong (−π; π]: x = π/3 và x = −π/3.
- Trong [0; 4π]: x = π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3, tức có 4 nghiệm.
Ví dụ kiểm tra x = 7π/3: ta có 7π/3 = π/3 + 2π nên thuộc họ π/3 + k2π với k = 1. Còn 11π/3 = −π/3 + 4π, thuộc họ thứ hai với k = 2.
Lỗi sai thường gặp
- Chu kì sai: viết ±π/3 + kπ. Hàm cos tuần hoàn chu kì 2π, nên phải là k2π. Thử k = 1: cos(π/3 + π) = −1/2 ≠ 1/2.
- Nhầm góc đặc biệt: viết ±π/6 + k2π. Thực tế cos(π/6) = √3/2, còn 1/2 là cos(π/3).
- Nhầm với sin: sin x = 1/2 mới cho x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π. Với cos thì hai nghiệm đối nhau.
- Quên k ∈ Z: đáp án thiếu tham số k là chưa đủ họ nghiệm.
Cách loại phương án khi làm trắc nghiệm: thay thử một giá trị. Nghiệm đúng phải cho cos bằng 1/2 với cả dấu + và dấu −. Đáp án chỉ có π/3 + k2π (thiếu −π/3) là chưa đủ; đáp án có 2π/3 là sai vì cos(2π/3) = −1/2.
Bài luyện tập có đáp án
- Giải phương trình cos x = −1/2.
Đáp án: −1/2 = cos(2π/3), nên x = ±2π/3 + k2π (k ∈ Z). - Giải phương trình cos 2x = 1/2.
Đáp án: 2x = ±π/3 + k2π, suy ra x = ±π/6 + kπ (k ∈ Z). - Giải phương trình cos(x − π/4) = 1/2.
Đáp án: x − π/4 = ±π/3 + k2π, nên x = 7π/12 + k2π hoặc x = −π/12 + k2π (k ∈ Z).
Ở bài 2 và 3, lưu ý chia cả hai vế cho hệ số của x và chuyển vế cẩn thận: chu kì mới của nghiệm cũng bị chia theo.
Câu hỏi thường gặp
Nghiệm của phương trình cos x = 1/2 là gì?
Là x = ±π/3 + k2π với k nguyên, tức x = π/3 + k2π hoặc x = −π/3 + k2π.
Phương trình cos x = 1/2 có bao nhiêu nghiệm trong [0; 2π]?
Có 2 nghiệm là x = π/3 và x = 5π/3.
Tại sao nghiệm của cos x = 1/2 có dạng ±π/3 + k2π mà không phải kπ?
Vì hàm cos tuần hoàn với chu kì 2π. Cộng thêm π sẽ đổi dấu giá trị cos, thành −1/2, nên không còn là nghiệm.
Nghiệm của cos x = 1/2 theo đơn vị độ là bao nhiêu?
x = ±60° + k360° (k ∈ Z).