Chuyên đề toán 10 chân trời sáng tạo: mục lục đúng 10 liên kết
Lớp 10ToánChân trời sáng tạo

Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo: Giải bài tập Chuyên đề học tập

Trả lời nhanh

Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo gồm 3 chuyên đề: (1) Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn và ứng dụng; (2) Phương pháp quy nạp toán học và nhị thức Newton; (3) Ba đường conic và ứng dụng. Bên dưới là mục lục có link tới lời giải từng bài, kèm phần tóm tắt kiến thức và ví dụ để em ôn nhanh.

Mục lục giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo

Em bấm vào tên bài để xem lời giải chi tiết. Mỗi chuyên đề là một mạch kiến thức độc lập, nên em có thể học theo thứ tự thầy cô dạy trên lớp, không nhất thiết phải học từ chuyên đề 1.

Chuyên đề 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn và ứng dụng

  • Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
  • Bài 2: Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
  • Bài tập cuối chuyên đề 1

Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học và nhị thức Newton

  • Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
  • Bài 2: Nhị thức Newton
  • Bài tập cuối chuyên đề 2

Chuyên đề 3: Ba đường conic và ứng dụng

  • Bài 1: Elip
  • Bài 2: Hypebol
  • Bài 3: Parabol
  • Bài 4: Tính chất chung của ba đường conic

Chuyên đề 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Ý tưởng cốt lõi: khử dần ẩn (phương pháp Gauss)

Hệ ba phương trình ba ẩn x, y, z được giải bằng cách khử bớt ẩn để đưa về hệ “dạng tam giác”. Em dùng các phép biến đổi tương đương: nhân hai vế một phương trình với số khác 0, cộng hoặc trừ các phương trình với nhau.

Ví dụ 1. Giải hệ: x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2.

  1. Cộng phương trình (1) với (3): 2x + 3y = 8. (4)
  2. Cộng phương trình (2) với (3): 3x + y = 5. (5)
  3. Từ (5): y = 5 − 3x. Thế vào (4): 2x + 15 − 9x = 8, suy ra x = 1, rồi y = 2.
  4. Thế vào (1): z = 6 − 1 − 2 = 3.

Nghiệm (x; y; z) = (1; 2; 3). Em thử lại vào cả ba phương trình: 6; 3; 2 đều đúng.

Ba khả năng của hệ: có nghiệm duy nhất; vô nghiệm (khi khử ẩn xuất hiện dạng 0 = số khác 0); vô số nghiệm (khi xuất hiện 0 = 0 và còn ẩn tự do). Đừng vội kết luận “vô nghiệm” khi chưa khử xong.

Bài toán thực tế (Bài 2)

Quy trình: đặt ẩn có đơn vị → lập đúng 3 phương trình từ dữ kiện → giải hệ → đối chiếu điều kiện (số dương, số nguyên…) → kết luận.

Ví dụ 2 (tự đặt). Giá một cây bút, một quyển vở, một cái thước lần lượt là x, y, z (nghìn đồng). Bạn A mua 2 bút, 3 vở, 1 thước hết 44; bạn B mua 1 bút, 2 vở, 2 thước hết 33; bạn C mua 3 bút, 1 vở, 1 thước hết 29. Tính giá từng loại.

Hệ: 2x + 3y + z = 44; x + 2y + 2z = 33; 3x + y + z = 29. Từ phương trình thứ ba, z = 29 − 3x − y. Thế vào phương trình thứ hai: x + 2y + 58 − 6x − 2y = 33, suy ra −5x = −25, nên x = 5. Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ ba: −x + 2y = 15, suy ra y = 10. Cuối cùng z = 29 − 15 − 10 = 4.

Vậy bút 5 nghìn, vở 10 nghìn, thước 4 nghìn đồng. Kiểm tra bạn A: 10 + 30 + 4 = 44 (đúng).

Lỗi hay gặp: viết sai dấu khi trừ hai phương trình; quên đổi đơn vị; không thử lại nghiệm.

Chuyên đề 2: Quy nạp toán học và nhị thức Newton

Phương pháp quy nạp: 3 bước

  • Bước 1 (cơ sở): kiểm tra mệnh đề đúng với n = n0 (thường n0 = 1).
  • Bước 2 (giả thiết): giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ≥ n0).
  • Bước 3 (chứng minh): chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, bắt buộc phải dùng giả thiết ở bước 2.

Ví dụ 3. Chứng minh 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2 với mọi số nguyên dương n.

Với n = 1: vế trái bằng 1, vế phải bằng 1 nên đúng. Giả sử đúng với n = k, tức là 1 + 3 + … + (2k − 1) = k2. Với n = k + 1, tổng bằng k2 + (2k + 1) = (k + 1)2. Vậy mệnh đề đúng với mọi n ≥ 1.

Lỗi hay gặp: bỏ bước cơ sở; ở bước 3 viết “tương tự” mà không dùng giả thiết; nhầm n0 khi đề yêu cầu n ≥ 3 hoặc n ≥ 5.

Nhị thức Newton

Công thức: (a + b)n = Cn0an + Cn1an−1b + … + Cnnbn. Số hạng tổng quát là Cnkan−kbk. Các hệ số có thể lấy từ tam giác Pascal, và tổng các hệ số Cnk bằng 2n.

Ví dụ 4. Tìm hệ số của x3 trong khai triển (2x + 1)5.

Số hạng chứa x3 ứng với k = 3: C53(2x)3·12 = 10·8x3 = 80x3. Hệ số cần tìm là 80. Sai lầm phổ biến là chỉ lấy 10 mà quên luỹ thừa của hệ số 2.

Chuyên đề 3: Ba đường conic và ứng dụng

Elip, hypebol, parabol đều là giao của mặt nón với một mặt phẳng, nên gọi chung là đường conic. Em cần nhớ phương trình chính tắc và các đại lượng đi kèm.

Đường Phương trình chính tắc Quan hệ Tính chất đặc trưng
Elip x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b > 0) c2 = a2 − b2 MF1 + MF2 = 2a
Hypebol x2/a2 − y2/b2 = 1 c2 = a2 + b2 |MF1 − MF2| = 2a; tiệm cận y = ±(b/a)x
Parabol y2 = 2px (p > 0) Tiêu điểm F(p/2; 0) Đường chuẩn x = −p/2; MF = khoảng cách từ M tới đường chuẩn

Mẹo nhớ: elip có dấu “+” nên c2 “bị trừ” (c nhỏ hơn a); hypebol có dấu “−” nên c2 “được cộng” (c lớn hơn a).

Elip x^2/25 + y^2/9 = 1 với hai tiêu điểm F1, F2 và điểm M thuộc elip
Elip x²/25 + y²/9 = 1: với mọi điểm M trên elip, MF1 + MF2 = 2a = 10 (ví dụ M(3; 2,4): MF1 ≈ 7,4 và MF2 ≈ 2,6).

Ví dụ 5. Cho elip x2/25 + y2/9 = 1. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai.

Có a = 5, b = 3 nên c = √(25 − 9) = 4. Tiêu điểm F1(−4; 0), F2(4; 0); tiêu cự 2c = 8; tâm sai e = c/a = 4/5.

Ví dụ 6. Hypebol x2/9 − y2/16 = 1 có a = 3, b = 4, c = 5; tiêu điểm (±5; 0); tiệm cận y = ±(4/3)x.

Ví dụ 7. Parabol y2 = 8x có 2p = 8 nên p = 4; tiêu điểm F(2; 0), đường chuẩn x = −2.

Tính chất chung (Bài 4)

Mỗi conic là tập các điểm M có tỉ số MF / d(M, Δ) = e không đổi, với F là tiêu điểm, Δ là đường chuẩn tương ứng. Khi e < 1 là elip, e = 1 là parabol, e > 1 là hypebol. Nhờ vậy em có thể nhận dạng conic chỉ bằng tâm sai.

Bài luyện tập tự kiểm tra

  1. Giải hệ: x + y + z = 9; x − y + 2z = 7; 2x + y − z = 3.
    Đáp án: cộng (1) và (3): 3x + 2y = 12; lấy (1) trừ (2): 2y − z = 2 nên z = 2y − 2; thế vào (1): x + 3y = 11, tức x = 11 − 3y. Thay vào 3x + 2y = 12: 33 − 7y = 12, y = 3, x = 2, z = 4. Nghiệm (2; 3; 4).
  2. Chứng minh bằng quy nạp: 2n > n với mọi số nguyên dương n.
    Gợi ý: n = 1 đúng (2 > 1); nếu 2k > k thì 2k+1 > 2k ≥ k + 1 (vì k ≥ 1).
  3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x + 1/x)4.
    Đáp án: số hạng tổng quát C4kx4−kx−k = C4kx4−2k; không chứa x khi k = 2, giá trị C42 = 6.
  4. Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu cự 6 và độ dài trục lớn 10.
    Đáp án: 2c = 6 nên c = 3; 2a = 10 nên a = 5; b2 = 25 − 9 = 16. Phương trình x2/25 + y2/16 = 1.

Cách học Chuyên đề học tập Toán 10 hiệu quả

  • Học xong mỗi bài, tự viết lại công thức chính và một ví dụ mẫu từ trí nhớ.
  • Với conic, luôn vẽ phác hình: xác định tiêu điểm, đỉnh, tiệm cận rồi mới tính.
  • Làm bài tập cuối chuyên đề để kiểm tra mức độ nắm vững trước khi ôn thi.

Tài liệu Toán 10 Chân trời sáng tạo khác

  • Lý thuyết Toán 10 – Chân trời sáng tạo
  • Giải SGK Toán 10 – Chân trời sáng tạo
  • Giải SBT Toán 10 – Chân trời sáng tạo
  • Đề thi Toán 10 – Chân trời sáng tạo
  • Trắc nghiệm Toán 10 – Chân trời sáng tạo
  • Chuyên đề dạy thêm Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Cùng chuyên đề: Mục lục khác cùng môn, lớp: Giải Toán 10 Bài 13 Kết nối tri thức: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm; Tổng hợp kiến thức Toán 10 Kết nối tri thức: lý thuyết trọng tâm 9 chương; Giải Toán 10 Bài 11 Kết nối tri thức: Tích vô hướng của hai vectơ.

Câu hỏi thường gặp

Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo gồm mấy chuyên đề?

Gồm 3 chuyên đề: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn và ứng dụng; Phương pháp quy nạp toán học và nhị thức Newton; Ba đường conic và ứng dụng.

Chuyên đề học tập có nằm trong bài kiểm tra, thi học kì không?

Tuỳ kế hoạch của từng trường. Nhiều trường dùng chuyên đề để kiểm tra riêng hoặc bổ sung vào đề thi, em nên hỏi giáo viên bộ môn để biết phạm vi cụ thể.

Làm sao nhớ nhanh công thức elip, hypebol, parabol?

Nhớ quan hệ giữa a, b, c: elip c² = a² − b², hypebol c² = a² + b². Parabol y² = 2px có tiêu điểm F(p/2; 0), đường chuẩn x = −p/2. Luyện bằng cách vẽ phác hình trước khi tính.

Khi dùng quy nạp toán học cần chú ý điều gì nhất?

Phải đủ cả hai bước: kiểm tra cơ sở và chứng minh từ n = k sang n = k + 1 có sử dụng giả thiết quy nạp. Thiếu một trong hai bước thì chứng minh không hợp lệ.

Bài học liên quan