Trả lời nhanh
Hàm số y = sin x là hàm số lẻ, không phải hàm số chẵn. Trong bốn hàm lượng giác cơ bản sin x, cos x, tan x, cot x, chỉ có y = cos x là hàm số chẵn vì cos(−x) = cos x với mọi x. Nếu đề của bạn có dạng khác, hãy dùng cách kiểm tra f(−x) = f(x) ở dưới để chọn đáp án.
Hàm số chẵn là gì?
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D thì:
- −x cũng thuộc D (tập xác định đối xứng qua 0);
- f(−x) = f(x).
Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu D đối xứng và f(−x) = −f(x). Đồ thị hàm chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng, đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Ba bước kiểm tra một hàm số có chẵn không
- Tìm tập xác định D và xem D có đối xứng qua 0 không. Nếu không, kết luận ngay: không chẵn, không lẻ.
- Tính f(−x) rồi rút gọn.
- So sánh: bằng f(x) thì chẵn; bằng −f(x) thì lẻ; không rơi vào hai trường hợp đó thì không chẵn, không lẻ.
Áp dụng cho nhóm hàm lượng giác
Dạng đề này thường cho bốn hàm y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x. Ta xét từng hàm:
| Hàm số | Tập xác định | Giá trị tại −x | Kết luận |
|---|---|---|---|
| y = sin x | ℝ | sin(−x) = −sin x | Lẻ |
| y = cos x | ℝ | cos(−x) = cos x | Chẵn |
| y = tan x | ℝ \ {π/2 + kπ} | tan(−x) = −tan x | Lẻ |
| y = cot x | ℝ \ {kπ} | cot(−x) = −cot x | Lẻ |
Vì sao cos x chẵn còn sin x lẻ?
Trên đường tròn lượng giác, hai góc x và −x cho hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành Ox. Hai điểm này có cùng hoành độ nên cos x không đổi. Tung độ của chúng đối nhau nên sin(−x) = −sin x.
Mẹo nhớ: cos bắt đầu bằng “c” như “chẵn” (cùng hoành độ). Tan, cot và sin đều “lẻ”. Hoặc nhớ: “cos chẵn – còn lại lẻ”.
Loại trừ phương án khi làm trắc nghiệm
- y = sin x: sin(−x) = −sin x ≠ sin x (với x bất kỳ khác kπ), nên không chẵn.
- y = tan x, y = cot x: đều là hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc O.
- y = cos x: thỏa f(−x) = f(x), là đáp án chẵn.
Lỗi sai thường gặp
- Quên kiểm tra tập xác định. Ví dụ y = √x có f(−x) không xác định với x > 0, nên không chẵn, không lẻ.
- Cho rằng “không chẵn thì là lẻ”. Có nhiều hàm vừa không chẵn vừa không lẻ, như y = sin x + cos x.
- Nhầm tính chẵn lẻ của hàm với tính chẵn lẻ của số mũ. Hàm y = x² + x có số mũ chẵn, nhưng vẫn không chẵn.
- Bỏ dấu ngoặc khi thay: sin(−x) khác −sin(x) khi chưa biết quy tắc, nên phải thay đúng rồi mới rút gọn.
Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Xét tính chẵn lẻ của y = x·sin x.
Giải: D = ℝ. f(−x) = (−x)·sin(−x) = (−x)(−sin x) = x·sin x = f(x). Vậy hàm số chẵn.
Bài 2. Xét y = sin x + 1.
Giải: f(−x) = −sin x + 1. Không bằng f(x) = sin x + 1 và cũng không bằng −f(x) = −sin x − 1. Vậy không chẵn, không lẻ.
Bài 3. Xét y = cos 2x + x².
Giải: D = ℝ. f(−x) = cos(−2x) + (−x)² = cos 2x + x² = f(x). Vậy hàm số chẵn.
Lưu ý: các bài trên là ví dụ tự đặt để luyện cách kiểm tra, bạn có thể áp dụng tương tự cho bất kỳ hàm nào trong đề.
Câu hỏi thường gặp
Hàm số y = sin x là hàm chẵn hay hàm lẻ?
y = sin x là hàm số lẻ vì sin(−x) = −sin x với mọi x. Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Trong các hàm lượng giác cơ bản, hàm nào là hàm chẵn?
Chỉ có y = cos x là hàm chẵn. Các hàm y = sin x, y = tan x, y = cot x đều là hàm lẻ.
Hàm số không chẵn thì có chắc là hàm lẻ không?
Không. Có những hàm vừa không chẵn vừa không lẻ, ví dụ y = sin x + cos x hoặc y = sin x + 1, hoặc hàm có tập xác định không đối xứng.
Đồ thị hàm số chẵn có đặc điểm gì?
Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung Oy, ví dụ đồ thị y = cos x và y = x².