Trả lời nhanh
Số gần đúng a là giá trị xấp xỉ của số đúng a̅. Sai số tuyệt đối là Δa = |a − a̅|. Nếu Δa ≤ d thì ta viết a̅ = a ± d, và d gọi là độ chính xác. Sai số tương đối là δa = Δa/|a| ≤ d/|a|, thường ghi dưới dạng phần trăm. Khi biết độ chính xác d, ta quy tròn a đến hàng thấp nhất mà d còn nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.
Bài 12 thuộc chương Thống kê của Toán 10 sách Kết nối tri thức. Bài này trả lời một câu hỏi rất thực tế: khi đo đạc hay tính toán ta gần như không bao giờ có giá trị tuyệt đối chính xác, vậy kết quả sai bao nhiêu và có đáng tin không? Dưới đây thầy cô tóm tắt toàn bộ kiến thức trọng tâm theo thứ tự dễ học nhất, mỗi phần đều có ví dụ minh hoạ mới.
1. Số đúng và số gần đúng
Có nhiều đại lượng mà ta không biết, hoặc rất khó biết, giá trị chính xác. Giá trị chính xác đó gọi là số đúng, kí hiệu a̅. Giá trị xấp xỉ mà ta tìm được gọi là số gần đúng, kí hiệu a.
- Số đúng thường xuất hiện dưới dạng số vô tỉ (√2, √7, số pi…), phân số có phần thập phân vô hạn (2/3, 5/7…) hoặc kết quả đo thực tế (chiều cao của một người, khối lượng một bao gạo…).
- Số gần đúng là con số ta thực sự viết ra, đọc được trên máy tính hoặc trên dụng cụ đo.
Ví dụ 1. Đường chéo của hình vuông cạnh 1 m dài √2 m. Bấm máy tính được √2 ≈ 1,414. Khi đó √2 là số đúng, còn 1,414 là số gần đúng.
Ví dụ 2. Một chiếc bánh được chia đều cho 3 bạn, mỗi bạn được 2/3 chiếc. Viết 2/3 ≈ 0,67 thì 0,67 là số gần đúng của số đúng 2/3.
Lưu ý: máy tính cầm tay giúp tìm nhanh giá trị gần đúng của các biểu thức chứa căn, số pi… Nhưng màn hình chỉ hiện được một số chữ số hữu hạn, nên kết quả trên máy tính cũng chỉ là số gần đúng.
2. Sai số tuyệt đối và độ chính xác
a) Sai số tuyệt đối
Mức độ chênh lệch giữa số gần đúng và số đúng được đo bằng
Δa = |a − a̅|
Đại lượng này gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a. Vì có dấu giá trị tuyệt đối nên Δa luôn không âm, dù a lớn hơn hay nhỏ hơn a̅.
Ví dụ 3. Với a̅ = 2/3 và a = 0,67, ta có Δa = |0,67 − 0,666…| = 0,00333… ≈ 0,0033.
b) Độ chính xác d
Trong thực tế ta thường không biết a̅, nên cũng không tính được chính xác Δa. Tuy vậy, ta vẫn có thể khẳng định Δa không vượt quá một số dương d nào đó.
- Nếu Δa ≤ d thì a − d ≤ a̅ ≤ a + d. Ta viết gọn là a̅ = a ± d.
- Cách viết này có nghĩa là số đúng nằm trong đoạn [a − d; a + d].
- d gọi là độ chính xác của số gần đúng a. d càng nhỏ thì a càng sát với a̅.
Ví dụ 4. Ta biết 3,14 < số pi < 3,1416. Nếu lấy a = 3,14 thì Δa = pi − 3,14 < 3,1416 − 3,14 = 0,0016. Vậy có thể viết pi = 3,14 ± 0,0016. Đây là cách ước lượng sai số mà không cần biết hết các chữ số của số pi.
Ví dụ 5. Trên bao bì gói hạt điều có ghi “250 g ± 4 g”. Khối lượng thật a̅ là số đúng (ta không biết), a = 250 g là số gần đúng, d = 4 g là độ chính xác. Khối lượng thật nằm trong đoạn [246; 254] (gam).
c) Độ chính xác trong phép đo
Khi đo bằng dụng cụ có vạch chia, độ chính xác bằng một nửa đơn vị nhỏ nhất của thang đo. Chẳng hạn, nhiệt kế chia vạch đến 1 °C: mọi nhiệt độ từ 36,5 °C đến dưới 37,5 °C đều được đọc là 37 °C, nên d = 0,5 °C. Vì thế dụng cụ có vạch chia càng nhỏ thì kết quả đo càng chính xác.
3. Sai số tương đối
Sai số tuyệt đối chưa đủ để so sánh chất lượng của hai phép đo có độ lớn khác nhau. Sai 1 cm khi đo một cây bút là đáng kể, nhưng sai 1 cm khi đo chiều dài sân bóng thì gần như không đáng kể. Vì vậy ta dùng thêm sai số tương đối:
δa = Δa / |a|
Nhận xét quan trọng: nếu a̅ = a ± d thì Δa ≤ d, suy ra δa ≤ d/|a|. Tỉ số d/|a| càng nhỏ thì phép đo hoặc phép tính càng có chất lượng cao. Sai số tương đối thường được viết dưới dạng phần trăm.
Ví dụ 6. Một chai dầu ăn ghi thể tích thực 400 ml, sai số tuyệt đối là 3 ml. Sai số tương đối là δ = 3/400 = 0,0075 = 0,75%.
Ví dụ 7 (so sánh độ chính xác). Hai phép cân:
- Cân một bao gạo: 5 kg ± 0,05 kg ⇒ δ1 ≤ 0,05/5 = 1%.
- Cân một xe tải nhỏ: 2000 kg ± 10 kg ⇒ δ2 ≤ 10/2000 = 0,5%.
Sai số tuyệt đối của phép cân xe tải lớn hơn nhiều (10 kg so với 0,05 kg), nhưng xét theo sai số tương đối thì 0,5% < 1%, nên phép cân xe tải lại chính xác hơn. Đây chính là lí do cần đến sai số tương đối.
| Đại lượng | Công thức | Ý nghĩa | Đơn vị |
|---|---|---|---|
| Sai số tuyệt đối | Δa = |a − a̅| | Lệch bao nhiêu so với số đúng | Cùng đơn vị với đại lượng |
| Độ chính xác | Δa ≤ d | Cận trên của sai số tuyệt đối | Cùng đơn vị với đại lượng |
| Sai số tương đối | δa = Δa/|a| ≤ d/|a| | Lệch bao nhiêu so với độ lớn của số | Không có đơn vị (thường ghi %) |
4. Quy tròn số gần đúng
Số thu được sau khi làm tròn gọi là số quy tròn. Số quy tròn chính là một số gần đúng của số ban đầu.
a) Quy tắc làm tròn
- Chữ số ở hàng làm tròn: giữ nguyên nếu chữ số ngay bên phải nó nhỏ hơn 5; tăng thêm 1 đơn vị nếu chữ số ngay bên phải lớn hơn hoặc bằng 5.
- Các chữ số sau hàng làm tròn: bỏ đi nếu thuộc phần thập phân; thay bằng chữ số 0 nếu thuộc phần nguyên.
| Số ban đầu | Làm tròn đến | Số quy tròn | Ghi chú |
|---|---|---|---|
| 128 735 | hàng nghìn | 129 000 | Chữ số bên phải là 7 ≥ 5 nên tăng; phần nguyên phía sau thay bằng 0 |
| 0,03861 | hàng phần nghìn | 0,039 | Chữ số bên phải là 6 ≥ 5 |
| 7,4952 | hàng phần trăm | 7,50 | 9 tăng thành 10 nên phải nhớ sang hàng phần mười; giữ chữ số 0 cuối để thể hiện đã làm tròn đến hàng phần trăm |
| 64,449 | hàng đơn vị | 64 | Chỉ xét chữ số 4 ngay bên phải, không làm tròn dồn từng bước |
b) Sai số của số quy tròn
Khi thay một số bằng số quy tròn của nó đến một hàng nào đó, sai số tuyệt đối không vượt quá nửa đơn vị của hàng làm tròn.
- Làm tròn đến hàng đơn vị: Δ ≤ 0,5.
- Làm tròn đến hàng phần trăm: Δ ≤ 0,005.
- Làm tròn đến hàng nghìn: Δ ≤ 500.
Ví dụ 8. Mọi số đúng x thuộc nửa khoảng [12,5; 13,5) khi làm tròn đến hàng đơn vị đều được 13, và |x − 13| ≤ 0,5.
5. Quy tròn số gần đúng khi biết độ chính xác
Đây là phần học sinh hay làm sai nhất. Quy tắc cần nhớ:
Cho số gần đúng a với độ chính xác d, ta quy tròn a đến hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.
Vì sao lại như vậy? Khi d đủ lớn để “ảnh hưởng” tới một hàng nào đó thì chữ số ở hàng ấy không còn chắc chắn đúng. Giữ lại chữ số đó chỉ làm kết quả trông có vẻ chính xác hơn thực tế. Vì vậy ta làm tròn tới hàng mà sai số chưa ảnh hưởng tới.
Các bước làm:
- Viết các đơn vị hàng từ lớn đến nhỏ: …, 1000, 100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001, …
- Tìm đơn vị nhỏ nhất mà vẫn còn lớn hơn d. Hàng tương ứng là hàng cần làm tròn.
- Làm tròn a đến hàng đó theo quy tắc ở mục 4.
Ví dụ 9. a = 4,1356 với d = 0,002. Ta có 0,001 < 0,002 < 0,01, nên hàng thấp nhất mà d còn nhỏ hơn 1 đơn vị là hàng phần trăm. Quy tròn: a ≈ 4,14.
Ví dụ 10. Dân số một xã được ước lượng là 23 748 ± 300 người. Ta có 100 < 300 < 1000, nên làm tròn đến hàng nghìn: 24 000 người.
Ví dụ 11. Cho a̅ = 5,83 ± 0,04. Số đúng thuộc đoạn [5,79; 5,87]. Do 0,01 < 0,04 < 0,1 nên làm tròn đến hàng phần mười: a ≈ 5,8. Chữ số hàng phần trăm (chữ số 3) không chắc chắn đúng, vì số đúng có thể là 5,79 hoặc 5,87.
6. Những lỗi sai thường gặp
- Quên dấu giá trị tuyệt đối khi tính Δa nên ra sai số âm. Sai số tuyệt đối luôn ≥ 0.
- Chia cho số đúng thay vì số gần đúng. Theo định nghĩa trong sách, δa = Δa/|a|, trong đó a là số gần đúng.
- So sánh độ chính xác bằng sai số tuyệt đối khi hai đại lượng có độ lớn chênh lệch nhiều. Trường hợp này phải so sánh sai số tương đối.
- Làm tròn dồn từng bước, ví dụ 64,449 → 64,45 → 64,5 → 65. Cách này sai, kết quả đúng là 64.
- Chọn sai hàng làm tròn. Ví dụ d = 0,02 thì phải làm tròn đến hàng phần mười, không phải hàng phần trăm, vì d không nhỏ hơn 0,01.
- Bỏ chữ số 0 cuối sau khi làm tròn (viết 7,5 thay cho 7,50). Khi đó người đọc không biết số đã được làm tròn đến hàng nào.
Mẹo nhớ: “Tuyệt đối thì trừ, tương đối thì chia; d nhỏ hơn hàng nào thì dừng ở hàng đó.”
7. Bài tập luyện tập có đáp án
Bài 1. Cho a̅ = √5 và số gần đúng a = 2,24. Hãy ước lượng sai số tuyệt đối, biết 2,236 < √5 < 2,2361.
Lời giải: Δa = 2,24 − √5 < 2,24 − 2,236 = 0,004. Vậy √5 = 2,24 ± 0,004. Bấm máy để kiểm tra: √5 ≈ 2,23607, nên Δa ≈ 0,0039 < 0,004, đúng như ước lượng.
Bài 2. Bạn An đo chiều dài sân trường được 45 m ± 0,2 m. Bạn Bình đo chiều dài chiếc bàn được 1,2 m ± 0,01 m. Phép đo của bạn nào chính xác hơn?
Lời giải: δAn ≤ 0,2/45 ≈ 0,44%; δBình ≤ 0,01/1,2 ≈ 0,83%. Vì 0,44% < 0,83% nên phép đo của An chính xác hơn, dù sai số tuyệt đối của An lớn hơn.
Bài 3. Cho số gần đúng a = 3,14159 với độ chính xác d = 0,0007. Hãy viết số quy tròn của a.
Lời giải: Ta có 0,0001 < 0,0007 < 0,001, nên làm tròn đến hàng phần nghìn. Chữ số ngay bên phải hàng phần nghìn là 5, nên chữ số hàng phần nghìn tăng 1: a ≈ 3,142.
Bài 4. Một thước kẻ chia vạch đến milimét. Bạn Chi đo một đoạn thẳng được 87 mm. Hỏi độ dài thật nằm trong đoạn nào và sai số tương đối tối đa là bao nhiêu?
Lời giải: Độ chính xác d = 0,5 mm (nửa đơn vị vạch chia). Độ dài thật thuộc đoạn [86,5; 87,5] mm. Sai số tương đối δ ≤ 0,5/87 ≈ 0,57%.
8. Học tiếp và luyện thêm Bài 12
Sau khi nắm lý thuyết, các em nên làm bài tập trong sách theo thứ tự: Giải SGK Toán 10 Bài 12: Số gần đúng và sai số, tiếp theo là Sách bài tập Toán 10 Bài 12. Cuối cùng, tự kiểm tra bằng bộ 20 câu trắc nghiệm Số gần đúng và sai số.
Để ôn liền mạch, các em có thể xem lại bài trước là Lý thuyết Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ. Sau đó học tiếp Lý thuyết Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm và Lý thuyết Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán. Toàn bộ kiến thức của cả năm được tổng hợp tại Lý thuyết Toán 10 – Kết nối tri thức.
Câu hỏi thường gặp
Sai số tuyệt đối và sai số tương đối khác nhau thế nào?
Sai số tuyệt đối Δa = |a − a̅| cho biết số gần đúng lệch bao nhiêu so với số đúng, có cùng đơn vị với đại lượng. Sai số tương đối δa = Δa/|a| cho biết độ lệch đó lớn hay nhỏ so với độ lớn của số, không có đơn vị và thường ghi bằng phần trăm. Muốn so sánh chất lượng hai phép đo thì dùng sai số tương đối.
Độ chính xác d của số gần đúng là gì?
d là một số dương thoả mãn Δa ≤ d. Khi đó ta viết a̅ = a ± d, nghĩa là số đúng nằm trong đoạn [a − d; a + d]. Trong phép đo, d bằng một nửa đơn vị nhỏ nhất của dụng cụ đo.
Biết độ chính xác d thì làm tròn số gần đúng đến hàng nào?
Làm tròn đến hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó. Ví dụ d = 0,002 thì làm tròn đến hàng phần trăm; d = 300 thì làm tròn đến hàng nghìn.
Làm tròn một số đến hàng phần trăm thì sai số tối đa là bao nhiêu?
Sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng làm tròn. Với hàng phần trăm, sai số tối đa là 0,005.