Cho hình thang ABCD (AB//CD): phần đường vuông góc bị cụt
Lớp 9Toán

Cho hình thang ABCD (AB // CD), kẻ đường vuông góc với AC tại C và BD tại D

Trả lời nhanh

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, E là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D. Vì ∠OCE = ∠ODE = 90° nên bốn điểm O, C, E, D cùng nằm trên đường tròn đường kính OE. Đây là kết quả then chốt: từ đó suy ra các góc bằng nhau nhờ AB // CD để chứng minh các ý tiếp theo của đề.

Vẽ hình và đặt giả thiết

Ta có hình thang ABCD với đáy AB // CD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua C kẻ đường thẳng d1 ⊥ AC, qua D kẻ đường thẳng d2 ⊥ BD; d1 và d2 cắt nhau tại E.

Bước 1: Chứng minh O, C, E, D cùng thuộc một đường tròn

  1. O nằm trên AC nên EC ⊥ AC suy ra EC ⊥ OC, tức ∠OCE = 90°.
  2. O nằm trên BD nên ED ⊥ BD suy ra ED ⊥ OD, tức ∠ODE = 90°.
  3. Hai điểm C và D cùng nhìn đoạn OE dưới góc vuông nên C, D thuộc đường tròn đường kính OE.

Kết luận: tứ giác OCED nội tiếp đường tròn đường kính OE. Tâm của đường tròn là trung điểm OE.

Bước 2: Khai thác góc nhờ AB // CD

Trong đường tròn vừa tìm, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau:

  • ∠CEO = ∠CDO (cùng chắn cung CO). Vì AB // CD nên ∠CDO = ∠CDB = ∠DBA (so le trong). Vậy ∠CEO = ∠DBA.
  • ∠DEO = ∠DCO (cùng chắn cung DO). Vì AB // CD nên ∠DCO = ∠DCA = ∠CAB (so le trong). Vậy ∠DEO = ∠CAB.
  • Tứ giác OCED nội tiếp nên ∠COD + ∠CED = 180° (hai góc đối).

Ba hệ thức này là “công cụ” để giải các yêu cầu tiếp theo, chẳng hạn so sánh góc, chứng minh hai tam giác đồng dạng hoặc tìm quan hệ giữa các góc tại E, A, B.

Trường hợp hình thang cân

Nếu ABCD là hình thang cân (AC = BD) thì hình có trục đối xứng đi qua trung điểm hai đáy. O nằm trên trục này, và vì hai đường vuông góc dựng tại C, D đối xứng với nhau qua trục nên E cũng nằm trên trục đó. Khi ấy đường thẳng EO vuông góc với hai đáy AB và CD.

Kiểm tra bằng số liệu cụ thể

Chọn hệ trục với A(0; 0), B(4; 0), C(5; 2), D(1; 2). Giao điểm hai đường chéo là O(2,5; 1). Đường thẳng qua C vuông góc AC có phương trình 5x + 2y = 29, đường thẳng qua D vuông góc BD có phương trình −3x + 2y = 1. Giải hệ ta được E(3,5; 5,75). Trung điểm OE là (3; 3,375), bán kính bình phương bằng 5,89. Khoảng cách từ trung điểm này đến C và D đều cho cùng kết quả 5,89, xác nhận C, D thuộc đường tròn đường kính OE.

Lỗi sai thường gặp

  • Nhầm “vuông góc với AC tại C” thành “vuông góc với CD”. Đường kẻ ở đề vuông góc với đường chéo.
  • Quên gọi giao điểm O của hai đường chéo, trong khi O là điểm trung gian giúp chứng minh đường tròn.
  • Dùng góc so le trong khi chưa nêu rõ AB // CD. Hãy ghi rõ điều kiện này trong lời giải.

Bài luyện tập

  1. Đề: Chứng minh tứ giác OCED nội tiếp.
    Đáp án: ∠OCE = ∠ODE = 90° nên C, D thuộc đường tròn đường kính OE (xem bước 1).
  2. Đề: Chứng minh ∠CEO = ∠DBA.
    Đáp án: ∠CEO = ∠CDO (cùng chắn cung CO) và ∠CDO = ∠DBA (so le trong, AB // CD).
  3. Đề: Trong ví dụ số, tính ∠COD + ∠CED.
    Đáp án: 180° vì OCED nội tiếp và O, E ở hai đầu đường kính, hai góc này là hai góc đối.

Câu hỏi thường gặp

Điểm E trong bài là điểm nào?

E là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D.

Vì sao O, C, E, D cùng thuộc một đường tròn?

Vì ∠OCE = ∠ODE = 90°, nên C và D cùng nhìn đoạn OE dưới góc vuông và nằm trên đường tròn đường kính OE.

AB // CD được dùng ở bước nào?

Dùng để chuyển góc so le trong: ∠CDB = ∠DBA và ∠DCA = ∠CAB, từ đó liên hệ các góc tại E với các góc tại A, B.

Khi ABCD là hình thang cân thì E nằm ở đâu?

E nằm trên trục đối xứng của hình thang, cùng với O, nên EO vuông góc với hai đáy.

Bài học liên quan